- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.4. Разложение определителя по столбцам.
Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, будем обозначать Мij и называть минором, соответствующим элементу aij матрицы A .
Рассмотрим функцию матрицы
F(A) = а1i M1i - а2i M2i + а3i M3i - …+(-1)n+1аni Mni .
Аналогично утверждениям 16 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индукцию, так как полилинейность и кососимметричность определителей Мij нам уже известна.
Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).
По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = 0 M1i - 0M2i +…+(-1)i+11Mi i + …+(-1)n+1 0Mni =
= (-1)i+1Mi i =(-1)1+i, так как Mi i = 1 F(A)= (-1)1+i|A|
|A|=(-1)1+iF(A)=(-1)1+iа1iM1i+(-1)2+iа2i M2i+…+(-1)n+i аni Mni.
Таким образом, нами доказана
Теорема о разложении определителя по столбцу:
i |A|= .
Определение. Будем называть Аji= (-1)j+iMji алгебраическим дополнением элемента аji в определителе.
В этих обозначениях |A|= .
5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
Обозначим i-й столбец матрицы А через Аi, то есть Аi= . Рассмотрим |A| как функцию от п столбцов матрицы А, то есть |A|= det(А1,А2,…, Аn).
Теорема. Определитель является линейной функцией от i-го столбца i (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).
Доказательство. Докажем, что
det(А1,…,Аi+А i,…,Аn)= det(А1,…,Аi,…,Аn)+det(А1,…,А i,…, Аn)
и det(А1,…,сАi,…,Аn)= сdet(А1,…,Аi,…,Аn).
По теореме о разложении определителя по столбцу
|A| = а1i А1i+ а2i А2i +…+ аni Аni , где все коэффициенты Aji от i-го столбца не зависят. Поэтому det(А1,…,Аi+А i,…,Аn)=
= = + =
= det(А1,…,Аi,…,Аn) + det(А1,…,А i,…, Аn),
det(А1,…,сАi,…,Аn) = = с =
= с det(А1,…,Аi,…,Аn).
Теорема. Определитель является кососимметричной функцией столбцов.
Доказательство. Докажем индукцией по п, что если при i j Аi= Аj, то det(А1,…,Аi,…,Аj,…,Аn) = 0.
При п =2 утверждение очевидно из формулы для определителя.
Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п 3. Так как п 3, то в определителе кроме столбцов Аi= Аj существует столбец Аk, где k i, k j. Разложим |A| по k-му столбцу: |A| =(-1)1+kа1k M1k+(-1)2+kа2k M2k+…+(-1)n+kаnk Mnk , и в этом разложении во всех определителях Msk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех Msk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все Msk = 0 |A| =0.
Лекция 9.
5.6. Определитель транспонированной матрицы.
Для (mn)-матрицы C=(cij) транспонированной матрицей называется (nm)-матрица C t = (cji) , где cji = cij.
Теорема. |A t| =|A|.
Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |At|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Тогда F(А1,…,Аn) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это столбцы матрицы At, а |At| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы At. По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = |Е t| = |Е| = 1, то
есть |At| =|A|.