16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.

Пусть  : Lⁿ  Lⁿ - линейный оператор, Lⁿ=L₁ L₂ - пря­мая сумма -инвариантных подпространств L₁ и L₂ ,

е = {е₁,…,е_m} – базис в L₁, е = {е_m+1,…,е_n} – базис в L₂, dimL₁= m, dimL₂= n - m. Тогда е = {е₁,…,е_m,е_m+1,…_,е_n} – ба­зис всего пространства Lⁿ, и в этом базисе из инвариантности L₁ матрица [] имеет вид (16.1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L₂ – также -инвариантно, то j =m+1,…,n  е_j L₂, то есть  е_j = 0е₁+…+0е_m +  _m+1,j е_m+1+…+_nj е_n  в матрице (16.1) В = 0, то есть

[ ] = А₁∔ А₂ - (16.2)

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь А₁ – квадратная матрица порядка m, А₂ - квадратная матрица по­рядка n – m, А₁ = , А₂ = .

Обратно, если в некотором базисе е матрица [ ] имеет

вид (16.2), то Lⁿ=L₁L₂ - прямая сумма -инвариантных подпространств L₁ и L₂ , где L₁= <е₁,…,е_m>, L₂= <е_m+1,…, е_n>.

Вывод: Lⁿ распадается в прямую сумму -инвариантных

подпространств  [ ] в некотором базисе е имеет блочно- диагональный вид (16.2).

16.3. Прямая сумма линейных операторов.

Пусть Lⁿ=L₁…L_k и i=1,…,k определен ли­нейный оператор  _i : L_i L_i c матрицей [ ] в базисе е ⁱ={е₁ ⁱ,…, } подпространства L_i.

Теорема.  ! линейный оператор  : Lⁿ  Lⁿ такой, что =  _i .

Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомый л.о.  существует. Тогда х Lⁿ, х = х₁+…+ х_k , где все х_i L_i, и  х =  х₁+…+ х_k = = ₁ х₁+…+ _k х_k – отсюда следует единственность л.о.  .

2. Существование. Определим линейный оператор  : Lⁿ Lⁿ так: пусть х Lⁿ, х = х₁+…+ х_k (где все х_i L_i) ,

 х ₁ х₁+…+ _k х_k (из пункта 1 видно, что никак иначе определить л.о.  мы и не можем). Тогда

 х_i=(0+…+ х_i+…+0)=₁0+…+_iх_i+…+_k0= _i х_i, то есть i имеем |_Li= _i . Из линейности операторов  _i легко следует линейность оператора  .

Упражнение. Доказать линейность оператора .



Определение. Построенный линейный оператор  называется прямой суммой линейных операторов ₁,…,_k и обозначается ₁∔…∔ _k или ₁…_k .

В базисе е пространства Lⁿ, полученном объединением базисов е¹,…,е^k, матрица [ ]= [ ]∔…∔[ ]. Кроме того, можно увидеть, что все (L_i) (см. п.13.5) естественным образом инъективно вкладываются в (Lⁿ), сумма их в (Lⁿ) является прямой:

(Lⁿ) (L₁) … (L_k), и ₁∔…∔ _k (L₁) … (L_k).

В случае прямой суммы двух -инвариантных подпространств Lⁿ=L₁ L₂ получаем  = |_L1∔|_L2 .

16.4. Собственные векторы и собственные значения

линейных операторов.

Мы установили, что упростить вид матрицы л.о.  : L L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два - инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в L имеется -инвариантных подпространств, сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л.о.  . Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме п одномерных -инвариантных подпространств.

Рассмотрим вопрос, как находить одномерные -инвари-

антные подпространства. Пусть V – одномерное подпро­стра-

нство, V = <s >, s  0  V= { s|   P }. Очевидно, V –

-инвариантное подпространство   V V   s V

 P такой, что  s = s .

Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р,  : L L – линейный оператор. Вектор s L называется собственным вектором л.о.  , если s  0 и  Р такое, что  s = s.  называется собственным значением (собственным числом) оператора  .

По определению 0_L не является собственным вектором, хотя  0_L = 0_L = 0_L Р .

Пример. Для L = С^∞(-, +) - линейного пространства беско­нечно дифференцируемых функций на числовой прямой, и л.о.  = d/dx : С^∞(-, +) → С^∞(-, +) вектор е^kx является собственным вектором с собственным значением k .

Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахо­ждение одномерных -инвариантных подпространств – эк­вивалентные задачи.

Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

 : Lⁿ  Lⁿ - линейный оператор, е = {е₁,…, е_n } - базис в Lⁿ.

Тогда х – собственный вектор для     Р такое, что  х= х, и х 0  (id - ) х= 0, и х 0  х  Ker(id - ), и х  0. Таким образом, все ненулевые векторы из

Ker(id - ) явля­ются собственными векторами оператора , соответствую­щими собственному значению . Но в силу теоремы 6 из п.15 Ker(id - )  {0}  det(id -  ) = 0 

det [id - ] = det(E - [ ]) = 0.

Рассмотрим _(t)= det[tid -]= det(tE - [ ]) - многочлен от t степени n c коэффициентами в Р. Очевидно,

(id - )х = 0  (E – [])[x] = [0], причем ненулевые реше­ния этой однородной системы линейных уравнений сущест­вуют   - корень многочлена _(t).

Заметим, что в силу леммы из п.14.2. det(tid - ) не зависит от базиса e.

Определение. Многочлен  (t)= _(t) называется харак­теристическим многочленом оператора  или матрицы [], а уравнение (t) = 0 называется характеристическим уравнением.

Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора  надо:

1. Найти корни ₁,…, _k характеристического многочлена  (t) линейного оператора , лежащие в Р.

2. Для каждого _i , i = 1,…,k, решить однородную систему линейных уравнений (_iE - [])[x] = [0]. Её фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением _i .

Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень  в Р, и, следовательно, для  существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора  . И значит,   собственный вектор.

Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то  (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора  .

Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть А~В   Т: А = Т ^-1ВТ 

_A(t)= |tE – A| = |tE - Т^-1ВТ|=|Т^-1(tE – В)Т|=|Т^-1||(tE – В)||Т|= = |(tE – В)|= _B(t).



Легко видеть, что

_A(t)= |tE – A| = =

= (t – a₁₁)(t – a₂₂)…  (t – a_nn)+ слагаемые степени  (n-2) =

= tⁿ - (a₁₁+ a₂₂+…+ a_nn) t^n-1 + …+ (-1)ⁿdetA.

Определение. Для квадратной матрицы А =(а_ij) порядка n следом матрицы называется tr A = а₁₁+а₂₂+…+ а_nn .

По теореме, если А В, то trA=trВ, так как _A(t)= _В(t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA  trВ, то А и В не эквивалентны.

Лекция 28.

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: _A(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(b_ij) – присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда b_ij – алгебраические дополнения к элементам матрицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1)-го порядка матрицы tE– A. Значит, b_ij – многочлены от t степени

 п-1. Поэтому b_ij имеют вид b_ij = b⁽⁰⁾_ij+ b⁽¹⁾_ijt + …+ b^(п-1)_ijt^п-1, где все b^(k)_ij  Р. Определим матрицы В^(k) с элементами из Р: В^(k) = ( b^(k)_ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В⁽⁰⁾+ tВ^{(1) )}+…+ t^п-1В^(п-1). По свойству присоединенной матрицы

В(tE – A) = |tE – A|Е. (16.3)

Пусть _A(t)= |tE – A|= с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п. Из формулы

(16.3) получаем:

(В⁽⁰⁾+ tВ⁽¹⁾ +…+ t^п-1В^(п-1))(tE– A) = (с₀ + с₁t+…+ с_п-1 t^п-1+ t^п)Е. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

При t0:	-В(0)А	= с0Е	×А0 =Е
При t1:	-В(1)А+ В(0)	= с1Е	×А
При t2:	-В(2)А+ В(1)	= с2Е	×А2
. . . . . . .	. . . . . . . . . .	. . . . . .	. . . . .
При tп-1:	-В(п-1)А+ В(п-2)	= сп-1Е	×Ап-1
При tп:	В(п-1)	= спЕ	×Ап

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с₀Е+ с₁А+…+ с_п-1 А^п-1+ А^п =_A(А)



Следствие. [_( )] = _[]([])= 0  _( )= 0.