- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
А.М. Попов
ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Для студентов I курса бакалавриата, обучающихся по направлениям «Прикладная математика. Информатика», «Математика. Компьютерные науки», «Математика. Прикладная математика»
Москва
Издательство Российского университета дружбы народов
2007
У т в е р ж д е н о
РИС Ученого совета
Российского университета
дружбы народов
Попов А.М.
Лекции по линейной алгебре. - М.: Изд-во РУДН, 2007. – 183 с.
Вошедшие в Лекции разделы изучаются в курсе алгебры на математических специальностях бакалавриата.
Для студентов I курса бакалавриата по направлениям «Прикладная математика. Информатика», «Математика. Компьютерные науки», «Математика. Прикладная математика».
Подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики.
© А.М. Попов, 2007
© Издательство Российского университета дружбы народов, 2007
Лекция 1.
Комбинаторика. Бином ньютона
1.1. Комбинаторика.
Пусть Х = {х1 , х2 , …, хn } – множество из n элементов.
Определение. Размещением из n элементов по k называется упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются различными.
Количество таких размещений обозначается и называется коротко количеством размещений из п по k.
Пример. {х3 , х2 , х5 }, {х3 , х2 , х4 }, {х2 , х3 , х4 } – различные размещения из п по 3.
Мы будем записывать также размещения в виде х3 х2 х5 ;
х3 х2 х4 ; х2 х3 х4 .
Определение. Сочетанием из n элементов по k называется (неупорядоченное) подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличающиеся порядком, считаются одинаковыми.
Количество таких сочетаний обозначается и называется коротко количеством сочетаний из п по k.
Пример. {х1 , х2}, {х1 , х3}, {х1 , х4}, {х2 , х3}, {х2 , х4},
{х3 , х4} – все сочетания из 4 по 2.
Мы будем записывать также сочетания в виде х1 х2 , х1 х3 , х1 х4 и т.д.
Определение. Перестановкой из n элементов называется размещение из п элементов по п.
Количество таких перестановок обозначается Pn.
Пример. {х1, х2, х3}, {х2, х3, х1}, {х3, х1, х2},{х2, х1, х3},
{х3, х2, х1}, {х1, х3, х2} – все перестановки из трёх элементов.
Утверждение 1.1. = п(п -1)(п – 2)…(п – k + 1).
Доказательство индукцией по k (для произвольного п,
k п).
k = 1. Очевидно, = п , так как размещениями из п по 1 являются подмножества в Х, состоящие из одного элемента, а количество таких подмножеств равно количеству элементов в Х, то есть п.
Пусть утверждение верно для k - 1. То есть m k-1
= m(m -1)(m – 2)…(m – k + 2).
Докажем его для k. Рассмотрим k мест:
1 |
2 |
… |
k - 1 |
k |
k получается размещением на 1-е место любого из п элементов множества Х (таких возможностей имеется п), а на оставшиеся k - 1 мест - произвольного размещения из оставшихся m = n – 1 элементов множества Х (таких размещений имеется ). Отсюда = п и по предположению индукции = п = n(n -1)(n –2)…(n – k + 1)= n! /(n – k)! .
Следствие. Pn = = n!
Утверждение 1.2. = n(n -1)(n – 2)…(n – k + 1) / k! .
Доказательство. Так как все размещения из п по k получаются выборками из множества Х различных сочетаний из k элементов, а затем их всевозможными перестановками, то
= Pk = / Pk = n(n -1)(n – 2)…(n – k + 1) / k! =
= n! /((n – k)! k!) .
Утверждение 1.3. а) = = 1, б) = ,
в) = + .
Упражнение. Доказать утверждение с помощью формул.
Доказательство утверждения 1.3 без формул (для умных, но ленивых).
а) Очевидно, из п элементов ничего не выбирать или выбрать все элементы можно только одним способом.
б) Очевидно, каждому выбранному сочетанию из п по k соответствует сочетание оставшихся в Х п – k элементов, и количество сочетаний выбранных элементов равно количеству сочетаний оставшихся элементов.
в) сочетания из п + 1 элементов по k + 1 можно выбирать двумя способами: или выбрать все k + 1 элементов из первых п элементов – это можно сделать способами, или обязательно включить в сочетание (п + 1)-й элемент, а остальные k элементов выбирать из первых п элементов – это можно сделать способами.