- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7. Линейные пространства
7.1. Определения, примеры.
Пусть Р – произвольное поле.
Определение. Множество L называется линейным (или векторным) пространством над полем Р, если
I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции
a+bL, и aL, P определен результат операции aL, и
II. для этих операций выполнены 8 свойств:
1. (a + b)+ c = a + (b + c) a, b, c L.
2. элемент 0L L такой, что a + 0L= 0L +a = a a L.
0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.
3. a L элемент a L такой, что a + a = a + a = 0L .
a называется элементом, противоположным к a и обозначается -a.
4. a + b = b + a a, b L,
5. (a+b) = a + b a, b L P,
6. (+) a = a+ a, a L , P,
7. () a = ( a) a L , P,
8. 1P a = a a L.
Элементы линейного пространства называются векторами.
Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций , то
= {+,-(.), 0L ,|P }.
Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций .
Упражнения.
1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1; aL1, P aL1 ; 0L L1.
2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.
Примеры линейных пространств.
1. Поле Р является линейным пространством над Р.
2. Поле является линейным пространством над любым своим подполем.
3. Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.
4. Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.
5. Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.
Упражнения.
1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.
2. Доказать, что в линейном пространстве L 0L=0L P,
0Pa = 0L , (-1)a = - a aL.
Утверждение. Множество L = Р n ={(1,…,n)| все iP} является линейным пространством над полем Р.
Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из Р n (1,…,n)+ (1,…, n)= (1+1,…,n+ n),
(1,…,n)= (1,…, n).
II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что
((1,…,n)+(1,…, n))+(1,…, n)=((1+1)+1,…,(n+ n)+ +n)= (1+(1+1),…,n+( n+n)) =(1,…,n)+((1,…, n) + +(1,…, n)).
2. Очевидно, (1,…,n)+(0,…,0)= (0,…,0) + (1,…,n) =
= (1,…,n) (1,…,n) Р n. То есть (0,…,0)= - в Р n существует нейтрал по сложению.
3. Очевидно, (1,…,n)+ (-1,…,-n)= (0,…,0), то есть в Р n
(1,…,n) существует противоположный элемент.
Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения линейного пространства.
Определения.
1. Пусть элементы a1,…,ak L, 1,…,k Р. Выражение 1a1+…+kak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.
2. Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если существуют 1,…,k Р, не все равные нулю, такие, что 1a1+…+kak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства 1a1+…+kak = 0L следует, что все i = 0.
3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна
п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а
любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.
4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.
5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.
Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.