Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по линалу.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
29.08.2019
Размер:
4.73 Mб
Скачать

7. Линейные пространства

7.1. Определения, примеры.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Множество L называется линейным (или векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть a, b L определен результат операции

a+bL, и aL, P определен результат операции aL, и

II. для этих операций выполнены 8 свойств:

1. (a + b)+ c = a + (b + c) a, b, c L.

2. элемент 0L L такой, что a + 0L= 0L +a = a a L.

0L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3. a L элемент a L такой, что a + a = a + a = 0L .

a называется элементом, противо­положным к a и обозначается -a.

4. a + b = b + a a, b L,

5. (a+b) = a + b a, b L P,

6. (+) a = a+ a, a L , P,

7. () a = ( a) a L , P,

8. 1P a = a a L.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций , то

= {+,-(.), 0L ,|P }.

Определение. Подмножество L1 L называется подпространством линейного пространства L, если L1 само является линейным пространством относительно тех же операций .

Упражнения.

1. Доказать, что L1 - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L1 выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть a, b L1 a + b L1; aL1, P aL1 ; 0L L1.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

Примеры линейных пространств.

1. Поле Р является линейным пространством над Р.

2. Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

3. Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

4. Множество функций F(M) на множестве М со значениями в поле Р является линейным пространством над Р.

5. Множество многочленов Р[x] от х с коэффициентами в поле Р является линейным пространством над Р.

Упражнения.

1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2. Доказать, что в линейном пространстве L  0L=0L P,

0Pa = 0L , (-1)a = - a aL.

Утверждение. Множество L = Р n ={(1,…,n)| все iP} является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из Р n (1,…,n)+ (1,…, n)= (1+1,…,n+ n),

(1,…,n)= (1,…, n).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((1,…,n)+(1,…, n))+(1,…, n)=((1+1)+1,…,(n+ n)+ +n)= (1+(1+1),…,n+( n+n)) =(1,…,n)+((1,…, n) + +(1,…, n)).

2. Очевидно, (1,…,n)+(0,…,0)= (0,…,0) + (1,…,n) =

= (1,…,n) (1,…,n) Р n. То есть (0,…,0)= - в Р n существует нейтрал по сложению.

3. Очевидно, (1,…,n)+ (-1,…,-n)= (0,…,0), то есть в Р n

(1,…,n) существует противоположный элемент.

Упражнение. Доказать свойства 4 – 8 из определения линейного пространства.

Определения.

1. Пусть элементы a1,…,ak L, 1,…,k Р. Выражение 1a1+…+kak называется линейной комбинацией элементов a1,…,ak.

2. Говорят, что элементы a1,…,ak L линейно зависимы, если существуют 1,…,k Р, не все равные нулю, такие, что 1a1+…+kak = 0L. Соответственно, элементы a1,…,ak L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства 1a1+…+kak = 0L следует, что все i = 0.

3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна

п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а

любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в L п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.