Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по линалу.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
29.08.2019
Размер:
4.73 Mб
Скачать

9.3. Определитель произведения матриц.

Теорема. Пусть А, В Мп(Р). Тогда |AB| = |A| |B|.

Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему из 4.2) приведем её к ступенчатому виду: А . Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Pk такие, что PkР2Р1А = . Очевидно,

| | = (-1)s|A|, где s – количество элементарных матриц II-го типа среди Р1, Р2 ,…,Pk . Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы - нулевая, и значит, последняя строка матрицы В – также нулевая. Следовательно, 0 = | В| = |PkР2Р1АB| = (-1)s|AB| |AB| = 0 = =|A| |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A| 0. В этом случае последняя строка матрицы - ненулевая, и матрица - треугольная. Далее как в 4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d1,…,dn):

D. Значит, существуют элементарные матрицы I-го типа Q1, Q2,…,Qt такие, что QtQ2Q1 = D,

QtQ2Q1PkР2Р1А= D, и |A|= (-1)s| |= (-1)s|D|=(-1)sd1,…,dn. Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на d1, 2-я строка матрицы В умножается на d2 и т.д., то есть |DB| =d1,…,dn|B| =|D||B|. Следовательно,

|AB|=(-1)s|QtQ2Q1PkР2Р1АB|=(-1)s|DB|=(-1)s|D||B| =|A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.

Лекция 19.

9.4. Обратная матрица.

Утверждение. Пусть А - (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда (АВ) t = В tА t.

Доказательство. Заметим, что произведение ВtАt определено, так как В t - (k,п)-матрица, а А t - (п,т)-матрица. Кроме того (АВ) t и В tА t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i,j)-й элемент матрицы (АВ)t равен ((АВ)t)i,j= =(АВ)j,i = АjВi = (j-я строка матрицы А)(i-й столбец матрицы В) = (В t)it)j = (i-я строка матрицы В t)(j-й столбец матрицы А t) = (В tА t)i,j.

В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п,п)-матрицы А существуют, то они совпадают.

Теорема. А-1 |A| 0.

Доказательство. . Пусть А-1= В . Тогда АВ = Е  |АВ| =|А||В| = |E| = 1 |A| 0.

. Пусть |A| 0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х1, Х2,…,Хп, а столбцы матрицы Е обозначим Е1, Е2,…,Еп. Тогда из уравнения АХ = Е, записывая матрицы X и E через столбцы, получим уравнение А( Х1, Х2,…,Хп) = (Е1, Е2,…,Еп), или

Х1, АХ2,…, АХп) = (Е1, Е2,…,Еп)АХ i = Е i i . Так как |A| 0, то по правилу Крамера решение Х i i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A t| = |A| 0, то для At по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть AtY = Е (AtY) t = Е t= Е Y tAtt= Е Y tA= Е Y tлевая обратная матрица для А.

Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица.

Рассмотрим уравнение для i-го столбца обратной матрицы АХ i = Е i из доказательства предыдущей теоремы. Так как Е i= - здесь 1 находится на i-м месте, Х i = , то по правилу Крамера хki = k / |A|, k = 1,…,п, где k - определитель, полученный из определителя |A| заменой k-го столбца на Еi. Из разложения k по k-му столбцу получим, что kik – алгебраическое дополнение к (i,k)-му элементу в |A|. Значит, хki = Аik/|A|, i, k = 1,…,п. Матрица А* = (ki), где

ki = Аik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

Теорема. Если |A| 0, то А-1 , и А-1=(1/|A|)А*.

Упражнение. Проверить, что АА*=А* А = |A|E при любом |A|.