17. Диагонализируемые линейные операторы

Определение. Линейный оператор  : Lⁿ  Lⁿ называется

диагонализируемым, если существует базис е в Lⁿ такой, что [ ] - диагональная матрица, [ ] = diag(₁,…,_п).

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие диагонализируемости). Линейный оператор  : Lⁿ  Lⁿ имеет в некотором базисе е диагональную матрицу [ ]= diag(₁,…,_п)  базис е состоит из собственных векторов л.о.  , а ₁,…,_п – собственные значения оператора  .

Доказательство.

. Пусть в базисе е = {е₁,…, е_n } матрица [ ] = diag(₁,…,_п). Тогда i=1,…,п  е_i= _i е_i  базис е состоит из собственных векторов л.о.  , с собственными значениями ₁,…,_п .

. Если базис е = {е₁,…, е_n } состоит из собственных векторов л.о.  , с собственными значениями ₁,…,_п , то i=1,…,п  е_i= _i е_i  [ ] = diag(₁,…,_п).



Рассмотрим, при каких условиях в Lⁿ существует базис из собственных векторов л.о. .

Лемма. Собственные векторы л.о. , соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть s₁,…, s_k – собственные векторы л.о.  с различными собственными значениями ₁,…,_k. Проведем доказательство индукцией по k .

При k = 1 вектор s₁ линейно независим, так как s₁  0.

Пусть для k - 1 утверждение верно, то есть s₁,…, s_k-1 линейно независимы. Покажем, что тогда s₁,…, s_k-1, s_k линейно независимы. Предположим, что

₁s₁+…+ _k-1s_k-1+ _k s_k = 0. (17.1)

Применим к левой и правой частям этого равенства л.о.  . Получим :

₁₁s₁+…+ _k-1 _k-1s_k-1+ _k_ks_k = 0. (17.2)

Теперь умножим равенство (17.1) на _k и вычтем его из (17.2). Получим ₁(₁ -_k)s₁+…+ _k-1( _k-1 -_k)s_k-1= 0. Но s₁,…, s_k-1 линейно независимы  ₁(₁ -_k)=…= _k-1( _k-1 -_k)= 0  ₁=…= _k-1=0, так как ₁ -_k  0,…,  _k-1 -_k  0. Теперь из (17.1) получаем, что  _k s_k = 0   _k= 0 (так как s_k  0)  s₁,…,s_k - линейно независимы.



Пример. В линейном пространстве L = С^∞(-, +) бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой для л.о.  = d/dx: С^∞(-, +) → С^∞ (-, +) (см. пример из п.16.4) векторы е^аx являются собственными векторами, и поэтому любая система векторов { е^аx,е^bx,…,е^сx} с различными а, b,…,с – линейно независима.

Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости).

Если характеристический многочлен _(t) линейного оператора  : Lⁿ  Lⁿ имеет п различных корней в поле Р, то в Lⁿ существует базис из собственных векторов (в котором матрица [ ] – диагональна).

Доказательство. Действительно, в этом случае по лемме в Lⁿ существуют п линейно независимых собственных векторов л.о. , которые образуют базис из собственных векторов (в котором по теореме 1 матрица [ ] – диагональна).



Замечание. Условие в теореме 2 достаточное, но не необходимое: л.о. id : Lⁿ  Lⁿ имеет единственное собственное значение ₁ =1, но любой базис пространства Lⁿ состоит из собственных векторов л.о. id.

Рассмотрим, почему л.о.  : Lⁿ  Lⁿ может не быть диагонализируемым. Во-первых, это может быть из-за того, что поле Р не алгебраически замкнуто, и характеристический многочлен _(t) имеет в Р меньше, чем п корней. Например, для поворота плоскости на угол  характеристический

многочлен t²+1 не имеет действительных корней, и, очевидно, собственных векторов для этого поворота также нет. Во-вторых, для некоторого собственного значения ₀  Р кратности k >1 число соответствующих линейно независимых собственных векторов может быть меньше, чем k (см. теорему 3). Например, для л.о.  с матрицей [ ]= в базисе е = {е₁, е₂ }, очевидно, _1,2 =1- собственное значение кратности 2, но существует лишь один соответствующий линейно независимый собственный вектор – это е₁.

Теорема 3. Пусть Lⁿ – линейное пространство над полем Р,  : Lⁿ  Lⁿ - линейный оператор, ₀ – корень характеристического многочлена _(t) кратности k  1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора  с собственным значением ₀ не превосходит k .

Доказательство. Пусть dim Ker(₀ id - )= m, {s₁,…,s_m} – базис подпространства Ker(₀ id - ) (m – это и есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора  с собственным значением ₀ ). Дополним систему векторов {s₁,…, s_m} до базиса е всего пространства Lⁿ:

е = {s₁,…, s_m, а_m+1,…, а_п}. Тогда [ ]= = ,

где Е_m – единичная (m m)-матрица, 0 – нулевая (n – m) m-матрица, В – некоторая m(n – m)-матрица, С - некоторая

(n – m) (n – m)-матрица. Характеристический многочлен

_(t)= det(tЕ - [ ])=det =(t -₀)^mg(t), где g(t) – некоторый многочлен от t. Поэтому k  m, то есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора  с собственным значением ₀ не превосходит кратности корня ₀ в характеристическом многочлене.



Лекция 29.