- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
Пусть L – линейное пространство над полем Р, : L L – линейный оператор.
Определения.
1. Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует оператор , если f() = 0.
2. Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.
3. Аннулятором л.о. называется множество многочленов Ann = {f P[t] | f() = 0 }. Аналогично, аннулятором квадратной матрицы А называется множество многочленов Ann А = {f P[t] | f(А) = 0 }.
Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann 0, Ann А 0.
Так как [f()] = f([]), то Ann = Ann [].
Определение. Минимальным многочленом линейного оператора называется ненулевой многочлен f наименьшей степени из Ann со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен
fA матрицы A.
Утверждение. Для л.о. (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.
Доказательство. Пусть f1 , f2 - два минимальных многочлена для . Тогда ст.f1 = ст. f2 ст.( f1 - f2 ) ст.f1 , и f1 - f2 Ann f1 - f2 = 0 f1 = f2 .
Утверждение. Если f Ann , то f | f.
Доказательство. Разделим f на f с остатком:
f = q f +r, ст. r ст. f r() = f() - q() f()= 0 r= 0.
16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С, п >1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное -инвариантное подпространство.
Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того, что поле С алгебраически замкнуто.
Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R, п >1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует -инвариантное подпространство размерности 2.
Доказательство. Пусть (t)=р1(t)р2(t)…рm(t) - разложение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители рi(t) имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли ( )=0 р1( )р2( )…рm( ) = 0 det(р1( )р2( )…рm( )) = 0
det р1( )det р2( )…det рm( )= 0 i: det рi( )= 0.
а) Пусть ст. рi(t) = 1. Можно считать, что рi(t) = t - 0
рi( )= - 0 id, det ( - 0 id) = 0 Ker ( - 0 id) 0
Ker ( - 0 id) s 0, s – собственный вектор, <s > - одномерное -инвариантное подпространство.
б) Пусть ст. рi(t) = 2. Можно считать, что рi(t) = t 2 + аt + b,
рi()= 2 +а + b id. Так как det рi( )= 0, то Ker рi( ) 0
Ker рi( ) и 0 ( 2 + а + b id)и = 0
2и = - а и - bu. Пусть v = и, V = < и, v >. Тогда V - - инвариантное подпространство, так как и = v V,
v = 2и = - а и – bu = - а v - bu V (см. также вывод 2 из п.16.1), и dimV 2.
Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.