Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по линалу.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
29.08.2019
Размер:
4.73 Mб
Скачать

16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

Пусть Lлинейное пространство над полем Р, : L L – линейный оператор.

Определения.

1. Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует оператор , если f() = 0.

2. Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.

3. Аннулятором л.о. называется множество многочленов Ann = {f P[t] | f() = 0 }. Аналогично, аннулятором квадратной матрицы А называется множество многочленов Ann А = {f P[t] | f(А) = 0 }.

Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann 0, Ann А 0.

Так как [f()] = f([]), то Ann = Ann [].

Определение. Минимальным многочленом линейного оператора называется ненулевой многочлен f наименьшей степени из Ann со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен

fA матрицы A.

Утверждение. Для л.о. (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

Доказательство. Пусть f1 , f2 - два минимальных многочлена для . Тогда ст.f1 = ст. f2 ст.( f1 - f2 ) ст.f1 , и f1 - f2 Ann f1 - f2 = 0 f1 = f2 .

Утверждение. Если f Ann , то f | f.

Доказательство. Разделим f на f с остатком:

f = q f +r, ст. r ст. f r() = f() - q() f()= 0 r= 0.

16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С, п >1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное -инвариантное подпространство.

Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того, что поле С алгебраически замкнуто.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R, п >1, : Ln Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует -инвариантное подпространство размерности  2.

Доказательство. Пусть (t)=р1(t)р2(t)рm(t) - разложение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители рi(t) имеют степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли ( )=0 р1( )р2( )рm( ) = 0 det1( )р2( )рm( )) = 0

det р1( )det р2( )det рm( )= 0 i: det рi( )= 0.

а) Пусть ст. рi(t) = 1. Можно считать, что рi(t) = t - 0

рi( )= - 0 id, det ( - 0 id) = 0 Ker ( - 0 id) 0

Ker ( - 0 id) s 0, sсобственный вектор, <s > - одномерное -инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. рi(t) = 2. Можно считать, что рi(t) = t 2 + аt + b,

рi()= 2 + b id. Так как det рi( )= 0, то Ker рi( ) 0

Ker рi( ) и 0 ( 2 + а + b id)и = 0

2и = - а и - bu. Пусть v = и, V = < и, v >. Тогда V - - инвариантное подпространство, так как и = v V,

v = 2и = - а и – bu = - а v - bu V (см. также вывод 2 из п.16.1), и dimV 2.

Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.