26. Эрмитовы формы
26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
Определение. Функция f(х,у) на линейном пространстве L над полем C называется эрмитовой, если она обладает свойствами:
1. f(х+у, z) = f(х, z)+ f(у, z), x, y, z L,
2. f( х, у) = f(х, y), x, y L, C,
3.
f(x,y)
=
x,
y
L.
Следствия.
1. f(х, у + z) = f(х, у)+ f(х, z), x, y, z L,
2. f(х, у) = f(х, y), x,y L, C,
3. f(0L , y) = f(x, 0L ) = 0 x, y L.
4.
m, n
N,
s, t C, us, vt L.
Замечания.
1. Функции, для которых выполнены условия 1, 2 из определения и 1, 2 из следствия называются полуторалинейными (они линейны по первому аргументу и полулинейны по второму). Таким образом, любая эрмитова функция - полуторалинейная.
2. Теория эрмитовых функций аналогична теории симметричных билинейных функций, поэтому многие утверждения будут лишь сформулированы, а их доказательства читателю предлагается провести в качестве упражнений.
Примером эрмитовой функции служит скалярное произведение на унитарном пространстве.
Пусть f - полуторалинейная функция на n-мерном пространстве L = Ln над полем С, e = {e1,…,en} – произвольный
базис в L.
Если x,
y
L,
где все
xs,
yt
С,
то f(x,y)
=
.
Из
этой формулы видно, что значение полуторалинейной функции f(x, y) при произвольных x, y L полностью и однозначно определяется n2 значениями fst = f(es,et) функции f на упорядоченных парах базисных векторов es, et.
Матрицу [
]=(
fst
)s,t=1,…,n
будем называть
матрицей
полуторалинейной
функции f
в базисе e.
Пусть
.
Тогда f(x,y)=
=
,
то есть функция
f(x,
y)
является многочленом, все одночлены
которого – первой степени
от координат
вектора х
и первой степени
от координат вектора
.
Такой многочлен является линейной
формой по
х
и полулинейной по у,
то есть полуторалинейной
формой.
Полуторалинейные формы, соответствующие
эрмитовым функциям, будем называть
эрмитовыми
формами.
Необходимым и достаточным условием
эрмитовости полуторалинейной формы
f
явлется
условие fts
= f(et,es)=
=
s,t,
то есть [
]t=
в любом (в некотором) базисе е
– это условие эрмитовости её матрицы
[
]
в любом (в некотором) базисе е.
Определение. Пусть f - полуторалинейная функция на линейном пространстве L над С. Функция F: L С, заданная формулой F(x) = f(x, x) x L, называется квадратичной функцией, определяемой полуторалинейной функцией f. Если f – эрмитова, то и F называется эрмитовой.
Очевидно, если
f(x,
y)
=
,
то F(x)
=
-
форма второй степени от действительных и мнимых частей
координат х.
Матрицей
квадратичной формы F
будем называть
матрицу соответствующей полуторалинейной
формы f:
[
]
= [
].
И тогда F(x)
=
.
Упражнение. Проверить, что полуторалинейная форма f однозначно восстанавливается из определенной ею квадратичной формы F по формуле
f(x,
y)=
(F(x+y)
- F(x - y) + iF(x+iy) - iF(x - iy)).
(26.1)
Если e = {e1,…,en} - другой базис в L, и Т = = (tks ) - матрица перехода от базиса e к базису e, то
.
Сле-
довательно,
,
или
,
где
- матрица перехода от базиса e
к «комплексно сопряженному» с e
базису
,
состоящему из векторов
,
s=1,…,n.
Аналогично,
.
Следствия.
1. det
=
det
|detT|2.
2. Если det R, то sign(det )= sign(det ).
Определение. Пусть f - полуторалинейная форма на L. Рангом формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе: rg f = rg . Аналогично, rg F = rg = rg f.
Корректность определения следует из того, что rg от базиса e не зависит.
Теорема. Полуторалинейная форма f является эрмитовой тогда и только тогда, когда соответствующая f квадратичная форма F принимает на L только действительные
значения, то есть x L F(x) = f(x, x) R.
Доказательство.
Если f
- эрмитова форма, то
x,
y
L
f(x,y)=
поэтому
x
L
F(x)=f(x,x)=
так что F(x)
R
x
L
.
Наоборот, пусть теперь x L F(x) = f(x, x) R. Покажем, что тогда x, yL f(x, y)= то есть f – эрмитова. Используем формулу (26.1): x, y L
f(x, y) = (F(x + y) – F(x - y)+ iF(x + iy) – iF(x - iy)),
причем x, y L F(x+y)= F(y+x) R,
F(x - y)= f(x - y, x - y)= (-1)2f(y - x, y - x)= F(y – x) R,
F(x +
iy)= i
f(x
+ iy, x + iy)= f(- y+ ix,- y+ ix)=
= (-1)2f(y - ix, y - ix)= F(y – ix) R, и аналогично
F(x - iy)= F(y + ix) R.
Подставив последние четыре формулы в (26.1), получим:
f(x, y)=
(F(y+
x) - F(y – x) + i F(y – ix) - i F(y + ix))=
.
Следовательно, f - эрмитова форма.