8. Системы линейных уравнений

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8.1. Определение ранга матрицы через миноры.

Определение. Будем говорить, что для (m,n)-матрицы А

ранг rk A= r , если все миноры в А порядка (r+1) равны нулю, и существует минор порядка r, который не равен нулю.

Упражнения.

1. Доказать, что если rk A = r , то все миноры в А порядка s, s  (r+1), равны нулю.

2. Доказать, что rk A = 0  A = 0.

3. Доказать, что rk A = 1  в А  ненулевая строка, а все остальные строки ей пропорциональны.

Далее мы докажем, что rk A = rg A.

Утверждение. Если А – (m,n)-матрица, и А А , то

rk A  rk A .

Доказательство. Пусть rk A= r. Покажем, что в матрице А все миноры М_r+1 порядка r+1 равны нулю. Отсюда и будет следовать утверждение.

Пусть А А, и i-я строка матрицы А получается сложением i-й строки матрицы А с j-й строкой, умноженной на с Р (j i). Рассмотрим минор М_r+1 порядка r+1 в А. Если

i-я строка матрицы А не входит в М_r+1 , то минор М_r+1 равен соответствующему минору М_r+1 матрицы А: М_r+1= М_r+1= 0. Если в М_r+1 входят и i-я и j-я строки матрицы А , то минор М_r+1 получается из соответствующего минора М_r+1 с помощью ЭП-I, то есть М_r+1= М_r+1= 0. Если же i-я строка матрицы А входит в М_r+1 , а j-я строка матрицы А не входит в М_r+1, то М_r+1= М_r+1 с М⁰_r+1,= 0 с0 = 0, где М_r+1 и М⁰_r+1 – соответствующие миноры матрицы А.

Пусть теперь А А, и при ЭП-II в матрице А меняются местами i-я и j-я строки. Если i-я и j-я строки матрицы А не входят в М_r+1 , то М_r+1= М_r+1= 0. Если i-я и j-я строки матрицы А входят в М_r+1 , то М_r+1= - М_r+1= - 0 = 0. Если же i-я строка матрицы А входит в М_r+1, а j-я строка матрицы А не входит в М_r+1, то М_r+1= М⁰_r+1 = 0, где М⁰_r+1 - некоторый минор матрицы А.

Наконец, пусть А А, и при ЭП-III в матрице А i-я строка умножается на с Р, с  0. Если i-я строка матрицы А не входит в М_r+1, то М_r+1= М_r+1= 0. Если же i-я строка матрицы А входит в М_r+1, то М_r+1= с М_r+1=с 0 = 0.



Следствие. Если А А , то rk A = rk A .

Доказательство. Так как А А, то А А, причем

обратное ЭП - того же типа (см. упражнение 1 из 4.2). Следовательно, rk A  rk A, и rk A  rk A, то есть rk A = rk A.



С помощью элементарных преобразований (как в 4.2) приведем матрицу А к ступенчатому виду

= .

Тогда rk A = rk .

Утверждение. rk = r = rg = rg A.

Доказательство. Так как в существуют лишь r ненулевых строк, то любой минор порядка r+1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. Кроме того, очевидно, минор r-го порядка, стоящий на пересечении первых r строк и столбцов с номерами k₁, k₂,…, k_r , не равен нулю – он равен  …  0.



Итак, мы доказали, что rk A = rg A. Далее для ранга матрицы мы будем использовать единое обозначение rg A.

Утверждение. rg A^t = rg A.

Доказательство. Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, то rk A^t = rk A, и

rg A^t = rk A^t = rk A = rg A.



Последнее утверждение означает, что ранги матрицы по строкам и по столбцам совпадают, то есть размерность линейной оболочки строк матрицы и размерность линейной оболочки столбцов матрицы одинаковы.