8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

Определим произведение строки А₁ = (a₁, a₂, …, a_m) на столбец В¹ = по формуле А₁В¹ = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a_mb_m .

Теперь определим произведение (m,n)-матрицы A на (n,k)-матрицу В. Пусть А₁, А₂,…, А_т – строки матрицы А, и В¹, В²,…,В^k – столбцы матрицы В. Тогда по определению АВ= С, где С - (m,k)-матрица, у которой все элементы с_ij = А_iВ^j.

Упражнения.

1. Доказать, что для матриц выполняются свойства

(АВ)С= А(ВС), (А+В)С= АС + ВС, С(А+В)= СА + СВ, АЕ= А, ЕА = А, где Е – единичная матрица (см.5.3). Причем если определена левая часть равенства, то определена правая часть и наоборот.

2. Доказать, что умножение матриц некоммутативно, то есть привести пример матриц А и В таких, что АВ  ВА.

Определение. Матрица В называется левой обратной для матрицы А, если ВА = Е. Матрица С называется правой обратной для матрицы А, если АС = Е.

Утверждение. Если для матрицы А существуют левая

обратная матрица В и правая обратная матрица С, то В = С.

Доказательство. Рассмотрим произведение матриц

(ВА)С = В(АС). Левая часть равенства равна ЕС = С. Правая часть равенства равна ВЕ = В. Следовательно, В = С.



Далее мы покажем, что левая обратная матрица В и правая обратная матрица С для А существуют  det A  0. В этом случае мы будем называть матрицу В = С обратной матрицей для А и обозначать А^-1.

Систему линейных уравнений (4.1) запишем в матричном виде АХ = В, где А – (т,n)-матрица, основная матрица СЛУ; Х = - (n,1)-матрица, столбец неизвестных; В = - (т,1)-матрица, столбец правых частей.

Пусть Х_ч – некоторое частное решение неоднородной системы, то есть АХ_ч = В, а Х₀ – произвольное решение соответствующей однородной системы АХ = 0, то есть АХ₀ = 0

(здесь 0 в правой части – нулевой столбец). Тогда А(Х_ч+Х₀) = = АХ_ч+ АХ₀ = В + 0 = В, то есть Х₁ = Х_ч + Х₀ – также решение неоднородной системы. Наоборот, пусть Х₁ – некоторое решение неоднородной системы, то есть АХ₁ = В. Тогда

А(Х₁ - Х_ч)= АХ₁ - АХ_ч= В – В = 0, то есть Х₀ = Х₁ - Х_ч - решение однородной системы, и опять Х₁ = Х_ч + Х₀. Таким образом, все решения неоднородной СЛУ получаются из некоторого частного решения Х_ч прибавлением всевозможных решений соответствующей однородной СЛУ. Если rg A = r, то множество решений однородной СЛУ АХ= 0 является линейным пространством размерности n – r, а базисом в этом пространстве является фундаментальная система решений

f₁, f₂ ,…, f_n-r (см.7.6). Любое решение Х₀ однородной СЛУ является линейной комбинацией фундаментальной системы решений: Х₀ = ₁ f₁ +…+ _n-rf_n-r , ₁,…,_n-r P. Выражение с₁f₁+…+ с_n-r f_n-r с произвольными постоянными с₁,…,с_n-r называется общим решением однородной СЛУ. Любое решение однородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с₁,…,с_n-r конкретных элементов поля ₁,…,_n-r. Выражение Х_ч+ с₁ f₁ +…+ с_n-r f_n-r, где с₁,…,с_n-r - произвольные постоянные, Х_ч – некоторое частное решение неоднородной системы АХ = В, а f₁ ,…, f_n-r - фундаментальная системы решений соответствующей однородной СЛУ, является общим решением неоднородной СЛУ. И опять - любое решение неоднородной СЛУ получается из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных с₁ ,…, с_n-r конкретных элементов ₁,…,_n-r P.

Замечания.

1. Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения

АХ = В. Пусть А – (п,п)-мат­рица и А^-1 существует. Если Х – решение уравнения, то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А^-1 слева, получим, что Х= А^-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А^-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.

2. В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили

ФСР, придавая набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). Минор, составленный из этих строк, размером (п –r)(п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим образом: нужно придавать (п – r) свободным неизвестным (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r)(п – r)-минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

Упражнение. Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.

Лекция 18.