Линейные отображения
13.1. Линейное отображение и его матрица.
Пусть L, L - линейные пространства над полем P.
Определение. Отображение : L L называется линей-
ным отображением, если
1. a, b L (a+b) = a + b,
2. a L P (a) = a.
Очевидно, условия 1-2 эквивалентны условию 3:
3. a, b L , P (a+b) = a + b.
В самом деле, 3 следует из 1 и 2: (a+b)=(a)+(b) = =a + b, 1 следует из 3 при = 0, 2 следует из 3 при 1.
Определение. Если линейное отображение является
биекцией, то - изоморфизм линейных пространств L и L.
Примеры.
pr: E3 E2 - ортогональная проекция пространства E3
с ортонормированным базисом i, j, k на подпространство
E2 = i, j параллельно подпространству k (оси Oz ).
: E3 E3, x E3 x = [a, x] – векторное произве-
дение вектора х на фиксированный вектор a E3.
=
:
Pn[x]
Pn-1[x]
– отображение дифференци-
рования.
: Pn[x] P, где f Pn[x] по определению
(f) = f(16).
: Pп[x] Pп+1[x], где f P[x] по определению
(f) = хf.
Замечание. Очевидно, можно считать, что в примере 1
pr – отображение из E3 в E3, а в примере 3 : Pn[x] Pn[x].
Упражнение. Доказать линейность отображений из при-
меров 1-5.
Простейшие свойства линейных отображений.
(0L)= 0L , но в общем случае -1(0L) 0L , хотя
-1(0L) 0L – см. примеры 1- 4.
(-a) = - a a L.
(
)=
.
Действительно, (0L) = (00L) = 0(0L) = 0,
(-a)= ((-1)a)= (-1) a = - a, а свойство 3 доказывается индукцией по k.
Упражнение. Найти -1(0L ) в примерах 1-5.
Матрица линейного отображения.
Пусть Ln, Lm - линейные пространства над полем P,
: Ln Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} - произвольный базис в Ln.
Лемма 1. Линейное отображение : Ln Lm полностью и однозначно определяется образами базисных векторов
e1 ,…, en .
Доказательство.
Пусть
x
Ln,
x
=
.
Тогда
x
=
(
)=
xLn
x
определяется векторами
e1
,…,
en
причем однозначно.
Пусть : Ln Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} –
базис в Ln,
e={e1,…,em}
– базис в Lm.
Выразим векторы j
ej
через
базис e¢.
Пусть
ej
=
,
j=1,…,n.
Матрицу
(aij) размером mn будем называть матрицей линейного
отображения
в базисах e
и e
и обозначать
,
или
,
или [],
если ясно, какие базисы имеются ввиду.
Очевидно,
=
[
],
то есть j-й
столбец матрицы
- это столбец
координат вектора
ej
в базисе e.
Единственность матрицы линейного
отображения
при фиксированных базисах e
и e
следует из леммы 1 и единственности
координат вектора в данном базисе.
Упражнение. Найти матрицы линейных отображений в примерах 1-5.
Замечание.
Пусть по
определению [x]
= [
]
=
- столбец
координат вектора
x
в базисе e.
Если допустить умножение векторов на
элементы поля справа, положив по
определению а
= а
Р,
аL
(проверить
корректность!),
то можно написать в матричном виде
следующие равенства:
х = e1х1+…+enхn = (e1,…,en)[х] = e[х], (13.1)
(e1,…,en) = (e1,…,em)[] или е=е[].
Лемма 2. Пусть e={e1,…,en} – базис в Ln, {a1,…,an} – произвольная система векторов в Lm. Тогда линейное отобра-
жение : Ln Lm такое, что ei= ai, i=1,…,n.
Доказательство.
1. Единственность. Пусть искомое существует. Тогда для
x
=
имеем
x
= (
)=
=
-
отсюда
единственность.
2. Существование. Пусть для произвольного x = по
определению x = ( )= . (Из п.1 видно, что
никак иначе отображение мы определить и не можем).
Тогда - линейное отображение, так как x = Ln,
у =
Ln
и ,
Р
имеем
(
x
+ у)
=
(
+
)=(
)
=
=
=
+
=
x
+
у. Кроме
того,
еi=(0·е1+…+1·еi+…+0·еn)=0·a1+…+1·ai+…+0·an=
ai.
Замечание. Линейное отображение называется продолжением по линейности отображения базисных векторов
: {e1,…,en} Lm такого, что ei= ai, i=1,…,n.
Следствия. 1. тп-матрицы А ! линейное отображение : Ln Lm такое, что = А – для этого надо выбрать векторы a1,…,an, координаты которых в базисе е, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.
2. При фиксированных базисах е в Ln и е в Lm соответс-
твие является биекцией между множеством линей-
ных отображений из Ln в Lm и множеством тп-матриц.
Пусть x Ln , y = x Lm. Найдем связь координат векторов x в базисе e и y = x в базисе e. Если x = ,
y=
x=
(
)=
=
(
)=
ei=
=
,
то yi
=
.
То есть
[
]=
[
]
или
[
]
=
[
].
В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: х = (е[x]) = (е)[x] = e[][x] = y =e[y] [y] = [x] = [][x].
Важный частный случай линейных отображений.
Пусть : Ln Ln , e – базис в Ln , то есть Ln = Lm , n = m,
e = e. Тогда называется линейным оператором (л.о.) или
эндоморфизмом
в пространстве Ln.
Матрицу
(соответственно,
)
мы будем обозначать
(соответственно,
)
и называть матрицей линейного оператора
в базисе e.
Очевидно, матрица л.о. - квадратная
nn-матрица,
j-й
столбец которой
=[
],
и [
]=
[
]
=
[
].
Ещё один важный частный случай линейных отображений.
Пусть m=1, то есть Lm= L1 = P, : Ln P, e – базис в Ln, e={1} – базис в L1 = P. Тогда называется линейной функцией или линейным функционалом на пространстве Ln, а матрицей является 1 n-матрица-строка.
Лекция 25.