- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Группы, кольца, поля
6.1. Определения, примеры.
1. Алгебраической п-арной операцией (или операцией арности п) на множестве А называется отображение : Ап А. При п = 1 операция называется унарной, при п = 2 операция называется бинарной, при п = 3 – тернарной. При п = 0 операция называется нульарной. Нульарная операция – это функция со значениями в А, которая не зависит ни от каких аргументов. Такими функциями являются константы. Поэтому по определению нульарная операция на А – это фиксация в А некоторого элемента a .
2. Универсальной алгеброй называется пара <A,>, где А - некоторое непустое множество, называемое носителем универсальной алгебры, а - некоторое множество операций на А различной арности. Когда ясно, какое множество имеется в виду, универсальной алгеброй называют сам носитель А.
3. Полугруппой называется универсальная алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией . То есть = {}, и
<P,>– полугруппа, если х1, х2, х3Р (х1х2)х3= х1(х2х3).
Утверждение. Если - ассоциативная операция, то результат последовательного применения этой операции к элементам х1, х2,…, хп Р (которые не обязательно все различны) не зависит от расстановки скобок, то есть не зависит от порядка выполнения операций и, значит, скобки можно не ставить совсем.
Доказательство. Выражение, содержащее х1, х2,…, хп и операции с произвольной расстановкой скобок, имеющей смысл, будем называть словом, а п будем называть длиной слова. Будем называть расстановку скобок вида (…((х1х2)х3)…хп) правильной, а соответствующее слово - правильным. При правильной расстановке скобок операции выполняются над элементами слева направо по порядку – вначале самая левая, затем следующая и т.д.
Покажем, что при любой расстановке скобок результат выполнения операций будет тот же, что и при правильной расстановке скобок.
Докажем утверждение индукцией по длине слова п.
При п = 3 утверждение означает ассоциативность операции и выполняется по определению.
Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п. Рассмотрим произвольное слово w длины п и последнюю по порядку выполнения операцию в w над подсловами w1 и w2: w = w1w2. Так как длина w1 меньше п, то по предположению индукции можно считать, что расстановка скобок в w1 - правильная. а) Если длина w2 равна 1, то расстановка скобок в w правильная. б) Если длина w2 больше 1, то опять по предположению индукции можно считать, что расстановка скобок в w2 правильная, и w2=w3хп. Тогда w = w1(w3хп)=(w1w3)хп, и слово w1 w3 можно по предположению индукции заменить на правильное слово w4. Тогда и w = w4 хп – правильное.
4. Моноидом называется полугруппа <М,> с операцией ,
в которой существует нейтральный элемент относительно
операции , то есть элемент такой, что х= х= х х М. Таким образом, для моноида множество операций ={, }, где - нульарная операция, фиксация в М элемента .
5. Группой <G,> называется моноид, в котором gG существует обратный элемент, то есть такой элемент g G, что gg = gg =. Обратный элемент для g обозначается g -1. Ввиду важности понятия группы дадим определение группы ещё раз.
Определение. Множество G называется группой, если
I. на множестве G определена бинарная операция и
II. выполнены свойства
1. (g1g2)g3= g1(g2g3) g1, g2, g3 G (ассоциативность)
2. G такой, что g = g = g gG. Элемент называется нейтральным элементов в G или нейтралом.
3. gG g G такой, что gg = gg =. Элемент g называется обратным для g и обозначается g -1.
Легко видеть, что для группы множество операций
= {, , (.)-1 }.
Группа называется коммутативной (или абелевой), если
g1 g2 = g2 g1 g1, g2 G.
6. Ассоциативным, коммутативным, унитарным кольцом (АКУ-кольцом) <K,> называется универсальная алгебра с = {+, , -(.), 0K , 1K}, где «+» (сложение) и «» (умножение) - бинарные операции, -(.) - унарная операция, и 0K , 1K - нульарные операции, удовлетворяющие условиям:
<K, +, -( ), 0K > - абелева группа (аддитивная группа
кольца – коммутативная).
<K, , 1K > - коммутативный моноид (мультиплика-
тивный моноид кольца – коммутативный).
Операции сложения и умножения связаны условиями
дистрибутивности:
(a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b a, b, с K. Можно дать следующее эквивалентное предыдущему
более подробное
Определение. Множество K называется АКУ–кольцом,
если
I. на K заданы операции «+» (сложение) и «·» (умножение), и
II. для этих операций выполнены свойства
(a + b) + c = a + (b+ c) a, b, с K,
элемент 0K K такой, что 0K + a = a+0K = a a K,
0K называется нейтральным элементом по сложению в K (или нулевым элементом),
a K элемент -a K такой, что
(-a) + a = a + (-a) = 0K . -a называется элементом, противоположным к a,
a + b = b + a a, b K,
(a b) c =a (b c) a, b, с K,
элемент 1K K такой, что 1K · a = a·1K = a a K,
1K называется нейтральным элементом по умножению в K (или единичным элементом),
8. a b = b a a, b K,
9. (a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b a, b, с K.
АКУ-кольцо называется полем, если выполнено дополнительное свойство
7. a K\{0K} элемент aK такой, что aa= aa = 1K .
a называется элементом, обратным к a, и обозначается a -1.
Если не выполняется свойство 5, то кольцо называется неассоциативным, если не выполняется свойство 6, то кольцо называется неунитарным, если не выполняется свойство 8, то кольцо называется некоммутативным.
Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать ассоциативные, унитарные кольца (АУ-кольца). Произведение элементов a и b, как обычно, мы будем обозначать ab (без точки), 0K и 1K, если это не вызовет недоразумений, будем обозначать 0 и 1 соответственно. Называя кольцо, будем указывать только носитель K и бинарные операции, либо только носитель, если ясно, какие операции имеются в виду.
Примеры колец.
Z,+, - АКУ-кольцо целых чисел.
2Z,+, - неунитарное АК-кольцо чётных чисел.
nZ,+, - неунитарное АК-кольцо чисел, кратных n,
где nZ, n 1.
R[x] - АКУ-кольцо многочленов с действительными
коэффициентами.
С[a,b] - АКУ-кольцо функций, непрерывных на
отрезке [a,b].
0K,+, - тривиальное АКУ-кольцо, в котором 1K= 0K.
Пусть K1 и K2 – кольца. Рассмотрим множество
K1K2 = {(a,b)| a K1, b K2}. Пусть по определению
(a1,b1)+ (a2,b2) = (a1+a2, b1+b2), (a1,b1)(a2,b2) = (a1a2, b1b2). Тогда K1K2 – кольцо, причем, если K1, K2 - АКУ-кольца, то K1K2 – АКУ-кольцо.
Упражнение. Проверить, что универсальные алгебры в
примерах 1 – 7 являются кольцами.