10.6. Производная.

Пусть f(х) P[x], ст.f = n. Тогда f(х+у) P[x, у]. Рассмотрим F(x,y)= f(х+у) – f(х) = а_п(х)у ^п+ а_п-1(х)у ^п-1 +…+ а₀(х). Так как F(x,0)= f(х) – f(х) = 0, то а₀(х)= 0_Р[x]  у | F(x,y)  F(x,y) = yF₁(x,y), где F₁(x,y) P[x, у].

Определение. Производной многочлена f(х) называется многочлен f(х)= F₁(x,0).

Очевидно, f(х) = F₁(x,у)|_y=0 = , и для многочленов над полем R наше определение совпадает с определением из математического анализа, так как = = F₁(x,0).

Свойства производной.

1. Если f(х) = а, а P, то f(х) = 0.

2. Если f(х) = х, то f(х) = 1.

Упражнение. Доказать очевидные свойства 1,2.

3. (f(х)+g(х)) = f(х)+g(х).

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)+g(х). Сложим два равенства: f(х+у) – f(х) = yF₁(x,y) и g(х+у) – g(х) = yG₁(x,y). Получим: h(х+у) – h(х) = yH₁(x,y), и h(х) = H₁(x,0)= F₁(x,0)+ +G₁(x,0), то есть (f(х)+g(х)) = f(х)+g(х).

По индукции можно доказать эту формулу для любых п слагаемых.

4. (f(х)g(х)) = f(х)g(х)+ f(х)g(х).

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)g(х). Перемножим два равенства: f(х+у) = f(х) + yF₁(x,y) и g(х+у) = g(х) + yG₁(x,y).

Получим: f(х+у)g(х+у)=f(х)g(х)+yF₁(x,y)g(х)+yG₁(x,y)f(х)+ + y²F₁(x,y)G₁(x,y)  H₁(x,y) = (h(x+y) – h(x)) y = F₁(x,y)g(х)+ +G₁(x,y)f(х) + yF₁(x,y)G₁(x,y)  h(x) = F₁(x,0)g(х)+ G₁(x,0)f(х)  (f(х)g(х)) = f(х)g(х)+ f(х)g(х).

5.  k  N (f(х)^k) = k f(х)^k-1f(х).

Доказательство индукцией по k.

При k = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для k. Докажем его для k+1. (f(х)^k+1) = (f(x)f(х)^k) = f(x) f(х)^k + f(x)(f(х)^k) = f(x) f(х)^k +

+ f(x) k f(х)^k-1f(х) = (k+1) f(х)^k f(х).

Следствия.

1. (х^k) = k х^k-1  k  N.

2. (а_пх ^п+ а_п-1х ^п-1+…+ а₀)= nа_пх ^п-1+(n – 1)а_п-1х ^п-2+…+ а₁.

Замечания.

1. Во всех наших формулах kb = b+b+…+b – сумма из k слагаемых.

2. Формулы для производных многочленов у нас получились такие же, как и в математическом анализе. Надо лишь только учитывать, что если charP  0, то некоторые слагаемые могут быть равны 0. Так например, если charP = р, то (х^р) = 0.

10.7. Кратные корни многочлена.

Далее в 10.7 будем считать, что charP = 0.

Определение. Пусть f(x)= p(x)^kg(x), где p(x) - простой многочлен в P[x], и p(x) не делит g(x). Тогда k – называется кратностью множителя p(x) в разложении f(x). Если k  2, то множитель p(x) называется кратным. Если р(х) = х – а, то есть f(x)= (x – а)^kg(x), и (х – а) не делит g(x), то k – называется кратностью корня а многочлена f(x). Если k  2, то корень а называется кратным, а если k = 1, то корень а называется простым.

Теорема. Если кратность простого множителя p(x) в раз-

ложении f(x) равна k, то кратность p(x) в разложении f(x) равна k – 1.

Доказательство. Так как f(x)=kp(x)^k-1p(x)g(x)+p(x)^kg(x)= = p(x)^k-1(kp(x)g(x)+p(x)g(x)), то p(x)^k-1| f(x). Покажем, что p(x) не делит (kp(x)g(x)+p(x)g(x)). В самом деле, если мы предположим, что p(x)| (kp(x)g(x)+p(x)g(x)), то получим, что p(x)| (kp(x)g(x)). Но p(x) и g(x) – взаимно простые  p(x)| p(x) - противоречие, так как ст.p(x) = ст.p(x) – 1.



Теорема. У f(x) существуют кратные простые множители тогда и только тогда, когда f и f не взаимно простые.

Доказательство. Пусть f(x)= р₁ р₂ …р_s - разложение f на простые множители. Тогда f(x)= р₁ р₂ … р_s h(x), и h(x) не делится на р_i i. Следовательно, D= р₁ р₂ …р_s является наибольшим общим делителем для f и f. Таким образом, f и f не взаимно простые, то есть D  1   k_i 1.



Если необходимо решить уравнение f(x)= 0, и многочлен f(x) содержит кратные множители, то мы можем перейти к эквивалентному уравнению меньшей степени следующим образом. С помощью алгоритма Евклида найдем D – наибольший общий делитель для f и f. Затем разделим f на D:

f  D = р₁р₂…р_s . Очевидно, уравнение f  D = 0 эквивалентно первоначальному уравнению, то есть имеет те же корни. Операция перехода к уравнению f  D = 0 называется освобождением от кратных множителей или освобождением от кратных корней.