- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
19. Ортогональные линейные операторы
19.1. Определение. Свойства.
Определение. Линейный оператор : Е Е называется ортогональным, если ( х, у) = (х, у) х, у Е.
Утверждение 1. Если - ортогональный оператор, то -
невырожденный.
Доказательство. Если х Ker , то (х, х) = (х, х) = 0 х = 0 Ker = 0.
Утверждение 2. Если - ортогональный оператор, то
-1 - ортогональный оператор.
Доказательство. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда (а, b) = = (a, b) = (x, y) (x, y)= (а, b) = ( -1х, -1у).
Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е
на себя).
Теорема 1. Для ортогонального оператора : Еn Еn эквивалентны следующие 15 условий:
( х, у) = (х, у) х, у Еn.
( х, х) = (х, х) (то есть | х | = | х | ) х Еn.
( еs, et) = (еs, et) s, t (для некоторого) базиса
е = {е1,..,en} в Еn.
( us , ut) = (us, ut) = st s, t (для некоторого)
ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Еn.
5. { u1 ,…, un } – ортонормированный базис.
6. = = s,t , где i,j = (еi, ej) –
элементы матрицы Грама, а (ai,j) = [ ].
7. = s,t , где (bi,j) = [ ].
8. [ ] t [ ] = .
9. [ ] t [ ] = Е .
10. [ ] t = [ ]-1.
11. [ ][ ] t = Е .
12. = s,t.
13. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным
базисом в Rn.
14. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным
базисом в пространстве столбцов Rп.
15. [ ] t – матрица ортогонального оператора.
Доказательство. Очевидно, из 1 2,3,4 (как частные
случаи), 6 8, 7 9 1011121315, 4 5 7 14.
Из 2 1, так как 2(х,у)=(х+у,х+у) - (х,x) - (y,y)= = |(х+у)|2 - | х |2 - | y |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у).
Из 3 1, так как (х, у) = (( ), ( )) =
= = = ( , )= (х, у).
Так же проверяется, что из 4 1.
И наконец, 3 6, так как (еs, et) = ( , )=
= = .
Следствие. Если - ортогональный оператор, то
det = 1.
Доказательство. [ ] t [ ] = Е det ([ ] t [ ]) =
= det [ ] t det[ ] = (det[ ])2 = det Е = 1.
Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.
19.2. Ортогональная группа.
Рассмотрим множество О(Еn) ортогональных операторов
на евклидовом пространстве Еn. Пусть также O(n) – множе-
ство ортогональных пп-матриц, SO(n)= {A О(n)| detA=1},
SО(Еn) = { О(Еn)| det = 1}.
Теорема 2.
1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn) O(n),
4. SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).
Доказательство.
1. I. Пусть , О(Еn) х, у Еn (()х, ()у) =
= ((х), (у)) = (х ,у) = (х, у) О(Еn).
II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.
2. Очевидно, (idx, idy)=(x, y) х, у Еn, то есть О(Еn) id – нейтральный элемент.
3. Пусть О(Еn). Тогда -1 О(Еn) – см. утверждение 2 из п.19.1.
Следовательно, О(Еn) – группа.
2. I. Пусть A, B О(n) A t = A -1, B t = B -1 (AB)t = B tAt= = B-1A-1 = (AB)-1 AB О(n).
II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).
2. Е t = Е -1 О(n) Е – нейтральный элемент.
3. Если A О(n), то | A | = 1 A-1 (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1 A -1 О(n).
Следовательно, О(п) – группа.
3. Очевидно, биекция [ ] из О(Еn) в О(n) ( и - некоторый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп ( так как [] = [][] , [ -1] = [] -1, [id] = E ).
Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.