Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по линалу.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
29.08.2019
Размер:
4.73 Mб
Скачать

19. Ортогональные линейные операторы

19.1. Определение. Свойства.

Определение. Линейный оператор : Е Е называется ортогональным, если ( х, у) = (х, у) х, у Е.

Утверждение 1. Если - ортогональный оператор, то -

невырожденный.

Доказательство. Если х Ker , то (х, х) = (х, х) = 0 х = 0 Ker = 0.

Утверждение 2. Если - ортогональный оператор, то

-1 - ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда (а, b) = = (a, b) = (x, y) (x, y)= (а, b) = ( -1х, -1у).

Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е

на себя).

Теорема 1. Для ортогонального оператора : Еn Еn эк­вивалентны следующие 15 условий:

  1. ( х, у) = (х, у) х, у Еn.

  2. ( х, х) = (х, х) (то есть | х | = | х | ) х Еn.

  3. ( еs, et) = (еs, et) s, t (для некоторого) базиса

е = {е1,..,en} в Еn.

  1. ( us , ut) = (us, ut) = st s, t (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Еn.

5. { u1 ,…, un } – ортонормированный базис.

6. = = s,t , где i,j = (еi, ej)

элементы матрицы Грама, а (ai,j) = [ ].

7. = s,t , где (bi,j) = [ ].

8. [ ] t [ ] = .

9. [ ] t [ ] = Е .

10. [ ] t = [ ]-1.

11. [ ][ ] t = Е .

12. = s,t.

13. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в Rn.

14. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в пространстве столбцов Rп.

15. [ ] t – матрица ортогонального оператора.

Доказательство. Очевидно, из 1 2,3,4 (как частные

случаи), 6 8, 7 9 1011121315, 4 5 7 14.

Из 2 1, так как 2(х,у)=(х+у,х+у) - (х,x) - (y,y)= = |(х+у)|2 - | х |2 - | y |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у).

Из 3 1, так как (х, у) = (( ), ( )) =

= = = ( , )= (х, у).

Так же проверяется, что из 4 1.

И наконец, 3 6, так как (еs, et) = ( , )=

= = .

Следствие. Если - ортогональный оператор, то

det = 1.

Доказательство. [ ] t [ ] = Е det ([ ] t [ ]) =

= det [ ] t det[ ] = (det[ ])2 = det Е = 1.

Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.

19.2. Ортогональная группа.

Рассмотрим множество О(Еn) ортогональных операторов

на евклидовом пространстве Еn. Пусть также O(n) – множе-

ство ортогональных пп-матриц, SO(n)= {A О(n)| detA=1},

SО(Еn) = { О(Еn)| det = 1}.

Теорема 2.

1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn) O(n),

4. SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).

Доказательство.

1. I. Пусть , О(Еn) х, у Еn (()х, ()у) =

= ((х), (у)) = (х ,у) = (х, у)  О(Еn).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

2. Очевидно, (idx, idy)=(x, y) х, у Еn, то есть О(Еn) idнейтральный элемент.

3. Пусть О(Еn). Тогда -1 О(Еn) – см. утверждение 2 из п.19.1.

Следовательно, О(Еn) – группа.

2. I. Пусть A, B О(n) A t = A -1, B t = B -1 (AB)t = B tAt= = B-1A-1 = (AB)-1 AB О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2. Е t = Е -1 О(n) Е – нейтральный элемент.

3. Если A О(n), то | A | = 1 A-1 (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1 A -1 О(n).

Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция  [ ] из О(Еn) в О(n) ( и - некоторый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп ( так как [] = [][] , [ -1] = [] -1, [id] = E ).

Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.