- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3. Отношение эквивалентности.
Определения.
1. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если xRx x Х.
2. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для x, у Х из xRy следует yRx.
3. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если для x, у, z Х из xRy и yRz следует xRz.
4. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Упражнения.
1. Доказать, что отношение R на множестве Х рефлексивно
R X .
2. Доказать, что отношение R – симметрично R-1 – симметрично R = R-1.
3. Доказать, что отношение R – транзитивно R2 R (здесь R2= RR) .
4. Доказать, что пустое отношение – симметрично и транзитивно.
5. Найти множества, для которых пустое отношение – рефлексивно.
6. Доказать, что на множестве Х наибольшее отношение
R= XX рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, следовательно, является отношением эквивалентности.
7. Доказать, что пересечение рефлексивных отношений – рефлексивно, пересечение симметричных отношений – симметрично, пересечение транзитивных отношений – транзитивно, пересечение отношений эквивалентности - отношение эквивалентности.
8. Доказать, что объединение рефлексивных отношений – рефлексивно, объединение симметричных отношений – симметрично. Привести пример транзитивных отношений, объединение которых не транзитивно.
9. Привести пример симметричных отношений, компози-
ция которых не симметрична. Привести пример транзитивных отношений, композиция которых не транзитивна.
Определение. Для отношения эквивалентности на множестве Х определим класс элемента х Х как
cl x = { y Х| y x }. Когда ясно, какое отношение эквивалентности имеется ввиду, будем обозначать класс элемента х также cl x или .
Утверждения. Пусть - отношение эквивалентности. Тогда
1) х Х х cl x.
2) Если х cl y, то y cl x.
3) Если y cl x, то cl y cl x.
4) Если y x, то cl y = cl x.
Доказательство 1) следует из определения рефлексивности, 2) – из определения симметричности, 3) – из определения транзитивности, 4) – из утверждений 2), 3).
Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности , то множество Х разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов, то есть X = , где x, y X либо cl х ∩ cl y = , либо cl х = cl y. Наоборот, любое разбиение множества Х в объединение непересекающихся подмножеств получается из некоторого отношения эквивалентности, которое определено однозначно, то есть если Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i j, то ! отношение эквивалентности такое, что i Хi = cl хi , где хi Хi .
Доказательство.
. 1. Очевидно, х Х х cl x X = .
2. Если cl х ∩ cl y , то есть cl х ∩ cl y z, то из утверждения 4) cl х = cl z = cl y.
. Пусть Х = U Хi , где Хi ∩ Хj = при i j. Если существует отношения эквивалентности , которое порождает данное разбиение, то есть i Хi = cl хi ,то все элементы из каждого подмножества Хi должны находиться в отношении , а элементы, не лежащие в одном подмножестве, не должны находиться в отношении . То есть ху i такое, что
х, у Хi . Это означает единственность .
Докажем существование. Как мы только что увидели, если , то ху i такое, что х, у Хi . Очевидно, так определенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. хХ cl х – это множество элементов, находящихся с х в отношении , то есть подмножество Хi, содержащее элемент х. Это
означает существование .
Определение. Множество классов эквивалентных элементов по отношению называется фактор-множеством и обозначается Х/. Другими словами, элементами множества
Х/ являются классы эквивалентных элементов множества Х. Часто отношение эквивалентности обозначается знаком .
Упражнения.
1. Пусть 1 и 2 - отношения эквивалентности на Х. Найти классы эквивалентных элементов для отношения эквивалентности 1 ∩ 2 .
2. Найти классы эквивалентных элементов для наименьшего отношения эквивалентности Х и для наибольшего отношения эквивалентности ХХ.
Лекция 5.