12. Прямые суммы подпространств

Определение. Пусть L₁, L₂ – подпространства в L. Тогда по определению сумма подпространств

L₁ + L₂ = {x + y | x L₁, y  L₂}.

Аналогично, L₁ +…+ L_т = {x₁ +…+ х_т | x₁ L₁,…,х_т L_т}.

Упражнения.

1. Доказать, что L₁ + L₂ - подпространство.

2. Доказать, что L₁ + L₂ - ³⁾наименьшее ¹⁾подпространст-

во, ²⁾содержащее L₁ и L₂ .

3. Доказать, что (L₁ + L₂)+ L₃ = L₁ +( L₂+ L₃ ).

Определение. Сумма L₁ + L₂ подпространств L₁ и L₂ называется прямой и обозначается L₁  L₂ (или L₁∔ L₂), если х L₁ + L₂ представление х = х₁ + х₂ , х₁ L₁, х₂L₂ , однозначно.

Аналогично, L₁+…+ L_т = L₁ … L_т – прямая сумма т подпространств, если х L₁ +…+ L_т представление

х = х₁ +…+ х_т , х_i L_i, однозначно.

Теорема 1. L₁ + L₂ = L₁  L₂  L₁ L₂ = {0}.

Доказательство.

. Пусть L₁ L₂  х, х  0  х = х + 0, х L₁, 0L₂ ,

х = 0 + х, 0 L₁, х  L₂ . Следовательно, для х представление неоднозначно, то есть сумма подпространств – не прямая.

. Пусть L₁ L₂ = {0}, и для а  L₁+ L₂ имеем два представления а = х₁ + х₂ = у₁ + у₂ , х₁ , у₁  L₁, х₂, у₂ L₂ . Тогда х₁ – у₁ = у₂ – х₂ L₁ L₂ = {0}  х₁ = у₁ , х₂ = у₂ . Следовательно, оба представления для а совпадают, и сумма подпространств – прямая.



Упражнение. Доказать, что L₁ +…+L_k = L₁ …L_k 

(L₁ +…+L_i ) L_i+1 = {0}  i =1,2,…,k-1.

Теорема 2. Пусть {e₁ ,…,e_k} – базис подпространства L₁, {e_k+1 ,…,e_m} – базис подпространства L₂ . Тогда

L₁ + L₂ = L₁  L₂  {e₁ ,…,e_k} {e_k+1 ,…,e_m} – базис подпро-

странства L₁ + L₂.

Доказательство.

. Пусть L₁ + L₂ = L₁  L₂. Тогда х L₁ + L₂ представление х = х₁ + х₂ , х₁ L₁, х₂L₂ , однозначно. И однозначным является выражение векторов х₁ , х₂ через базисы подпространств: х₁ = ₁е₁+…+_kе_k , х₂ = _k+1е_k+1+…+_mе_m . Следовательно, и выражение х = ₁е₁+…+_kе_k+_k+1е_k+1+…+_mе_m однозначно  {e₁ ,…,e_k ,e_k+1 ,…,e_m} – базис подпространства L₁ + L₂.

. Если {e₁ ,…,e_k ,e_k+1 ,…,e_m} – базис подпространства L₁ + L₂, то хL₁+ L₂ выражение х = ₁е₁+…+_kе_k+_k+1е_k+1+…+_mе_m однозначно. Тогда и для х₁ = ₁е₁+…+_kе_k  L₁,

х₂ = _k+1е_k+1+…+_mе_m L₂ представление х = х₁ + х₂ – однозначно, то есть L₁ + L₂ = L₁  L₂.



Следствие. dim(L₁  L₂) = dim L₁ + dim L₂.

Упражнение. Доказать, что L₁+…+L_k = L₁…L_k  объединение базисов всех подпространств L_i является базисом подпространства L₁ +…+L_k .

Теорема 3. dim(L₁ + L₂) + dim(L₁ L₂)= dimL₁ + dim L₂ .

Доказательство. Пусть {e₁ ,…,e_d} – базис в L₁ L₂ . Дополним его до базиса {e₁ ,…,e_d , f₁ ,…, f_k } подпространства L₁ и до базиса {e₁ ,…,e_d ,g₁ ,…,g_m} подпространства L₂. Покажем, что {e₁ ,…,e_d , f₁ ,…, f_k , g₁ ,…,g_m} – базис подпространства L₁+ L₂ . В самом деле, х L₁ + L₂, х = х₁ + х₂ , х₁ L₁, х₂L₂, х₁ <е₁,…,е_d , f₁,…, f_k >, х₂ <е₁,…,е_d , g₁,…, g_m > 

х₁ + х₂ <е₁,…,е_d , f₁,…, f_k , g₁,…, g_m >. Покажем, что система векторов {е₁,…,е_d , f₁,…, f_k , g₁,…, g_m } линейно независима. Пусть ₁е₁+…+_dе_d +₁f₁+…+_kf_k +₁g₁+…+_mg_m = 0. Тогда ₁е₁+…+_dе_d +₁f₁+…+_kf_k = -(₁g₁+…+_mg_m )  L₁ L₂  ₁=…=_k = 0  ₁е₁+…+_dе_d +₁g₁+…+_mg_m = 0 

₁=…=_d=₁=…=_m=0, так как {e₁ ,…,e_d ,g₁ ,…,g_m} – базис подпространства L₂. Следовательно, векторы

{е₁,…,е_d , f₁,…, f_k , g₁,…, g_m } линейно независимы, и

dim(L₁ + L₂)= d + k + m = dimL₁ + dim L₂ - dim(L₁ L₂).

