20. Самосопряженные линейные операторы

20.1. Сопряженные линейные пространства.

Пусть L =Lⁿ – линейное пространство над полем Р. Обозначим через L* множество линейных функций на L со значениями в Р (см. п.13.1, важный частный случай линейных отображений). Так как множество Ф(Lⁿ,L^m)={: Lⁿ  L^m} линейных отображе­ний из Lⁿ в L^m с операциями сложения и умножения на эле­менты поля является линейным пространством над полем P (см. п.13.5) и существует изоморфизм линейных пространств Ф(Lⁿ,L^m) М_т,п(Р), то L*= Ф(Lⁿ,Р) - линейное пространство, и L* М_1,п(Р)= Р ⁿ dimL*=n= dimL. В частности, L* L, но этот изоморфизм не канонический – он зависит от выбора базисов в L и L*.

В качестве базисного вектора одномерного линейного пространства Р возьмем 1_Р . Пусть е = {e₁,…,e_п} – базис пространства L, х = х₁e₁+…+х_пe_п , f  L*. Тогда

f(x) = х₁f(e₁)+…+х_пf(e_n) = х₁₁+…+х_п_n , где все _i  P,

_i = f(e_i) = _i1_Р , и f  [ ] = (₁,…,_n ) Р ⁿ. Базисным

строчкам (0,0,…,0, ,0,…,0) в Р ⁿ соответствуют в L* линейные функции еⁱ такие, что еⁱ(х)= 0х₁+…+1х_i+…+0х_n= х_i . Очевидно, е*= {е¹,…,еⁿ} – базис в L*, и f = ₁е¹+…+_пе^п.

Кроме того, еⁱ(е_j)=  ⁱ_j =

Определение. Линейное пространство L* называется

сопряженным (или двойственным, или дуальным) к простра-

нству L. Базис е* называется сопряженным (или двойственным, или дуальным) к базису е .

Пусть теперь L= Е^п, f_a(х)= (a, x).

Упражнение. Проверить, что f_a  (Е^п)*.

Утверждение. Отображение Ф: Е^п  (Е^п)* такое, что для а  Е^п Ф(а) = f_a является изоморфизмом линейных пространств Е^п и (Е^п)*.

Доказательство. Проверим линейность отображения Ф. Ф(а+b)= f_a+b= Ф(а)+Ф(b) = f_a+ f_b , так как f_a+b(х)= (а+b, x) = = (а, x)+ (b, x) = f_a(х)+ f_b(х) =( f_a+ f_b)(х). Ф(а)= f_a= Ф(а)= =  f_a , так как f_a(х) = (а, х) = (а, х) =  (f_a(х)) = ( f_a)(х). Найдем теперь KerФ. Пусть а  KerФ  Ф(а) = f_a = 0  f_a(х) = 0  х  f_a(а) = (а, а) = 0  а = 0  KerФ = 0  Ф – инъекция, сюръекция, биекция (см. теорему 6 из п.15) Ф – изоморфизм.



Замечания.

1. Изоморфизм Ф является каноническим, так как он не зависит от базиса.

2. Изоморфизм Ф позволяет перенести скалярное произведение с Е^п на (Е^п)* по правилу (f_a , f_b) = (a, b). Таким образом, (Е^п)* становится евклидовым пространством, а Ф - изоморфизмом евклидовых пространств.

20.2. Сопряженные линейные операторы.

Пусть  : Е^п  Е^п - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a,  x).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то

есть f  (Е^п)*, и следовательно, f = f_b при некотором b Е^п.

Будем считать, что b = *a, где * : Е^п  Е^п - некоторое отображение. Из определения * получаем, что

(a,  x) = (b, x) = (*a, x) или ( x, а) = (х, *a ).

Утверждение. * : Е^п  Е^п – линейный оператор.

Доказательство. (х, *(a+b)) = ( x, a+b) = ( x, a) +

+ ( x, b) = (х, *a) + (х, *b) = (х, *a + *b)  *(a+b) =

= *a+*b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично,

(х, *(a)) = ( x, a) = ( x, a)=  (х, *a) = (х, *a) 

*(a) = *a . 

Определение. Линейный оператор *: Е^п  Е^п называется сопряженным к линейному оператору .

Очевидно, ** =  , так как ( х, у) = (х, *у) = (**х, у).

Заметим, что при отождествлении Ф: а  f_a получаем:

(a,  x) = (*a, x), то есть f_a( x) = *( f_a )(x)  *( f_a )= f_a◦ .

Теорема. Для линейных операторов  и  на Е^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий  = *,  = * ) :

1. ( x, у) = (х, у)  х, у  Е^п.

2. ( е_i ,е_j)= (е_i , е_j)  i, j  (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. ( и_i ,и_j)= (и_i , и_j)  i, j  (для некоторого) ортонормированного базиса и в Е^п.

4. [ ] ^t = [ ], или же [ ] = ^-1[ ] ^t , где - матрица Грама для базиса е. (Доказать, что Г^-1  - см. также п.24.3).

5. [ ] = [ ] ^t.

Доказательство. Очевидно, из 1  2 (как частный случай), из 2  1 ввиду линейности  и скалярного произведения. Аналогично, 1  3. Проверим, что 2  4. В самом деле, если [ ] = (а_ks), [ ] = (b_ks), то ( е_i ,е_j) = ( ,е_j) = = = ([ ] ^t )_ij – (i,j)-й элемент матрицы [ ] ^t . А (е_i , е_j)= (е_i , ) = = ( [ ])_ij – (i,j)-й элемент матрицы [ ]. Отсюда 2  4. Аналогично проверяется, что 3  5. 