15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
Определения.
1. Образом линейного отображения называется множество Im = {y L | x L: y = x}, то есть Im = {x| x L} =
= L L.
2. Ядром линейного отображения называется множество Ker = {x L| x = 0}, то есть Ker = -1(0L) L.
Теорема 1.
Im - подпространство в L.
Ker - подпространство в L.
Эта теорема – частный случай теоремы 2.
Теорема 2. Пусть : L L - линейное отображение, V –
подпространство в L, W – подпространство в L. Тогда V - подпространство в L, -1W – подпространство в L (образы и прообразы подпространств при линейных отображениях являются подпространствами).
Доказательство.
1. Пусть y1, y2V х1, х2 V такие, что y1=х1, y2=х2.
,Р х1+х2V, так как V – подпространство (х1+х2)= х1+ х2= у1+ у2V V - подпространство.
2. Пусть х1, х2 -1W х1, х2 W , Р
х1+ х2 = (х1+ х2) W, так как W – подпространство х1+х2 -1W -1W - подпространство.
Теорема 3. - инъекция Ker = {0}.
Доказательство.
. Если Ker х 0, то х = 0 = 0 - не инъекция.
. Если х1= х2, то х1 - х2= (х1 – х2)= 0
х1 – х2 Ker = {0} х1 – х2= 0 х1 = х2 - инъекция.
Замечание. Ker - мера неинъективности отображения
: если y = х, то -1y = х + Ker .
Доказательство.
1. (х + Ker)= х +(Ker)=у + 0 = у -1y х + Ker.
2. Если х -1y, то х = х = у (х - х) = 0
х - х Ker х х + Ker -1y х + Ker.
Теорема 4 (структура Im). Пусть : L L - линейное
отображение, е = {е1,…, еn} – базис в L, е= {е1,…, еm} – базис в L, [] - матрица в базисах е, е. Тогда:
Im = < е1,…, еn>,
dim Im = rg[].
Доказательство.
1. xL, x= , х = ( )= < е1,…, еn>
Im = < е1,…, еn>, {е1,…, еn} – система образующих для Im .
2. dim
Im
- это ранг
системы векторов {
е1,…,
еn},
то есть ранг системы столбцов координат
этих векторов [
],…,[
],
которые являются столбцами матрицы
[].
Отсюда dim
Im
= rg[].
Следствие. Так как в равенстве dim Im = rg[] левая
часть от базиса не зависит, то и rg[] во всех базисах один и
тот же.
Определение. Пусть : Ln Lm - линейное отображение. Рангом отображения называется число dim Im = rg[], которое мы будем обозначать rg.
Дефектом отображения называется число dim Ker, которое мы будем обозначать def.
Теорема 5. rg + def = n = dimLn.
Доказательство. Выберем базис {е1,…,еd} в подпространстве Ker и дополним его до базиса {е1,…, еd, еd+1,…, еn} всего пространства Ln. Тогда Im =< е1,…, еd, еd+1,…, еn>=
= < еd+1,…, еn>, так как е1=…= еd= 0. Покажем, что { еd+1,…, еn} – базис в пространстве Im. Для этого достаточно доказать, что векторы { еd+1,…, еn} – линейно независимы. Пусть d+1 еd+1 +…+ n еn = 0
(d+1еd+1+…+nеn) = 0
d+1 еd+1 +…+ n еn Ker = <е1,…, еd>
d+1еd+1 +…+ nеn=1е1+…+d еd
1е1+…+d еd - d+1 еd+1 -…-nеn= 0. Но {е1,…,еn} линейно независимы. Значит, все i= 0. Таким образом, {еd+1,…, еn} – базис в пространстве Im, dim Im = n – d = n – dim Ker
rg + def = n = dimLn.
Следствие. Ln=<е1,…, еd, еd+1,…, еn>=<е1,…, еd>
<еd+1,…, еn>=Ker<еd+1,…, еn>, и : <еd+1,…, еn> Im - изоморфизм линейных пространств.
Лекция 27.
Теорема 6. Для линейного оператора : Ln Ln эквивалентны следующие 10 условий:
Ker = {0},
def = 0,
rg = n,
Im = Ln,
- инъекция,
- сюръекция,
- биекция,
-1,
[]-1,
det 0.
Доказательство.
Очевидно, 12 и 346 из определения, 23 из тео-
ремы 5, 15 из теоремы 3, 567 из определения. Так как rg = rg [], а det = det [], то из теории определителей 310, а из теории матриц 109. Эквивалентность 98 следует из того, что []-1= [ -1]. Либо можно доказать эквивалентность 78 следующим образом: 87 – из определения, а если имеет место 7, то, очевидно, отображение -1, и нам требуется лишь доказать его линейность. Пусть -1х = u,
-1y = v u = х, v = y ( u+ v) = х + y
-1( х + y) = u+ v = -1х + -1y -1 – линейно.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если выполняется любое из десяти эквивалентных условий из Теоремы 6. В противном случае оператор называется вырожденным.