18. Евклидовы векторные пространства

18.1. Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство Е над полем R называется евклидовым пространством, если на Е фиксирована функция двух векторных аргументов х, у  Е со значениями в R, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1. (х + у, z) = (х, z) + (у, z)  х, у, z  Е,

2. (x, y) =  (x, y)  х, у  Е,    R,

3. (x, y) = (y, x)  х, у  Е,

4. (x, x)  0  х  Е, x  0.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется симметричностью скалярного произведения, свойство 4 называется положительной определённостью.

Следствия из определения.

1. (х, у+ z) = (у+ z, х)= (у, х)+ (z, х)= (х, у)+ (х, z)  х, у, z Е.

2. (y, x) = (x, y) =  (x, y)=  (y, x)  х, у  Е,    R.

Следовательно, скалярное произведение – это билинейная симметричная положительно определенная функция.

3. (0_Е, х) = (0_R  0_Е ,x) = 0_R(0_Е ,x) = 0_R  (0_Е , 0_Е) = 0.

4. Пусть е = {е₁,…, е_n } – базис в Е, .

Тогда (x,y)= ( )= = , где _i,j = (e_i,е_j), а матрица Г = = (_i,j) называется матрицей Грама. Очевидно, (x, y) = = = [ ] ^t Г [ ], и Г ^t = Г.

5. Легко видеть, что подпространство евклидова пространст-

ва является евклидовым пространством.

Примеры.

1. Хорошо известными примерами евклидовых пространств являются множества векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, состоящие из векторов – направленных отрезков, для которых скалярное произведение определяется формулой (х, у) = |х||у|cos , где  - угол между векторами х и у.

2. Для пространства Rⁿ строк длины п определим скалярное произведение следующим образом: пусть для х = (х₁,…,х_п), у= (у₁,…,у_п) по определению (х, у) = х₁у₁ +…+ х_п у_п. Как мы увидим далее, полученное евклидово пространство является «типичным».

3. Для пространства C[a,b] непрерывных функций на отрезке [a,b] пусть по определению (f,g)=  f,g C[a,b].

Упражнение. Доказать, что в примерах 1-3 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения евклидова пространства, то есть указанные пространства являются евклидовыми.

Определения.

1. Назовём длиной вектора х  Е выражение |x| = . Так как (x, x)  0  х  Е, то длина определена  х  Е.

2. Будем говорить, что х, у  Е ортогональны, х  у, если

(х, у) = 0.

18.2. Свойства евклидовых пространств.

Теорема Пифагора. Если х  у, то |x + у|² = | x |² + | у |² .

Доказательство. |x+у|² =(х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) = = | x |² + | у |².



Следствие. Если х  у, то |x + у|²  | x |², |x + у|  | x |, причем |x + у|² = | x |²  у = 0.

Теорема 2. Пусть х, у  Е, х  0. Тогда   R такое, что у = х + z, где z  x.

Доказательство. z = у - х, z  x  (у - х, x) = 0 

(у, х) - (х, x) = 0   = (у, х) / (х, x).



Теорема (неравенство Коши-Буняковского). |(x, y)| |x||у|.

Доказательство. При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х  0, то по теореме 2 у = х + z, и по следствию из теоремы Пифагора | у |  |х | = | || х | =

= |х | =  |x||у|  |(x, y)|, причем равенство имеет место лишь при z = 0, у = х.



Следствия.

1. Так как -1 (х, у) /|x||y| 1, то мы можем определить угол  между векторами х и у по формуле:  = arccos . И тогда (х, у) = |x||y|cos .

2. (х₁у₁ +…+ х_пу_п)²  (х₁²+…+ х_п²)(у₁²+…+ у_п²) - неравенство Коши-Буняковского для Е = Rⁿ.

3. ( )²  .

4. Неравенство треугольника: |x + y|  |x| + |y|.

Доказательство. |x + y|² =(х+у, х+у) =(х,х)+(у,у)+2(х,у)   |x|² + |y|² + 2|x||y| = (|x| + |y|)² .



Теорема 4. Если ненулевые векторы а₁,…,а_k  E такие, что а_i  а_j при i  j, то а₁,…,а_k – линейно независимы.

Доказательство. Пусть ₁а₁ +…+_kа_k = 0. Тогда

(₁а₁ +…+_kа_k , а_i )= _i (а_i , а_i )= 0  _i = 0  = i.



Пусть е  Е, < е > = L, L^ = { x E| (x, е) = 0 }.

Теорема 5. L^ - подпространство в Е, и Е = L  L^.

Доказательство. Очевидно, если х, у  L^, то (x, е) = 0,

(у, е) = 0  (x + у, е) = (x, е) + (у, е)= 0 + 0 = 0, и для   Р

(x, е) = (x, е) = 0 = 0  х + у, x  L^. И кроме того, очевидно, 0 L^. Следовательно, L^ - подпространство.

По теореме 2  х Е х =  е + z,  е  L, z L^ 

Е = L +L^. Так же если L L^  е, то ( е, е) = 0   = 0 

L L^= {0}  Е = L  L^.



Теорема 6. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортогональный базис {e₁,…,e_n }, то есть такой базис, что (e_i ,e_j)= 0 при i  j.

Доказательство индукцией по п . При п = 1 доказывать нечего. Пусть утверждение верно для п – 1. Выберем е Е, е  0. Положим е₁= е, L = <е₁>. Тогда, очевидно, L^ является евклидовым пространством, и dim L^= n –1. По предположению индукции можно считать, что в L^ ортогональный базис {e₂,…,e_n} существует. Тогда {e₁,e₂,…,e_n} по теореме 5 - ортогональный базис в Е.



Теорема 7. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортонормированый базис {и₁,…,и_n}, то есть такой базис, что

(и_i, и_j)= _ij =

Доказательство. Рассмотрим ортогональный базис

{e₁,…,e_n}. Тогда векторы и_i = e_i/|e_i|, i =1,…,n, образуют ортонормированный базис.



Очевидно, для ортогонального базиса матрица Грама диагональна, а для ортонормированного базиса Г = Е.

Определение. Отображение  : Е₁ Е₂ евклидовых пространств называется изоморфизмом евклидовых пространств, если  - изоморфизм линейных пространств, сохраняющий скалярное произведение, то есть ( х, у) = (х, у)  х, у  Е₁. В этом случае евклидовы пространства Е₁ и Е₂ называются изоморфными, что обозначается так: Е₁  Е₂.

Теорема 8. Если Е – евклидово пространство и dim E= п, то Е  Rⁿ.

Доказательство. Пусть {и₁,…,и_n} – ортонормированный

базис в Е, . Тогда (х,у)= х₁у₁+…+ х_п у_п.

Отсюда следует, что отображение  : Е  Rⁿ такое, что

х=(х₁,…,х_п), является изоморфизмом евклидовых пространств, так как из п.7.3 это изоморфизм линейных пространств, и ( х, у) = (х, у) = х₁у₁+…+ х_п у_п.



Следствие. Из теоремы 8 следует, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу евклидовых пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство

Rⁿ. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

Далее n-мерное евклидово пространство мы будем обозначать Е^п.

Лекция 30.

Пусть EL – подпространство, L^={xЕ |(x, y)=0 yL}= = {xЕ | x  L}.

Упражнение. Доказать, что L^ - подпространство.

Определение. Подпространство L^ называется ортогональным дополнением к подпространству L.

Теорема 9. Е^п = L  L^.

Доказательство. Если х  L L^, то х  х  (х, х)= 0 

х = 0  L L^ = 0  L + L^ = L  L^.

Докажем, что L + L^ = Е^п. Пусть х  Е^п. Покажем, что

можно представить х в виде х = а + b, где а  L, b L^. Выберем в L ортонормированный базис {и₁,…,и_k}. Будем искать а в виде а = ₁и₁+…+_kи_k , где ₁,…,_k такие, что

b = (х – а)  L, то есть  i (x – a, и_i )= 0  (a, и_i )= (x, и_i ) 

(₁и₁+…+_kи_k , и_i )= (x, и_i )  (_iи_i , и_i )= (x, и_i )  _i = (x, и_i ).

Таким образом, мы показали, что _i !, то есть а находится однозначно, и значит, однозначно определяется и b. Отсюда следует не только равенство Е^п=L+L^, но и ещё раз мы получили, что Е^п = L  L^.



Теорема 10. L₁^ L₂^= (L₁ + L₂)^.

Доказательство. Если х L₁^ L₂^, то (х, а) = 0 а L₁, (х, b) = 0 bL₂  (х, a+b)= 0  x (L₁+ L₂), х(L₁+ L₂)^.

Если же х(L₁+ L₂)^, то (х, а+b) = 0 аL₁, bL₂  при b = 0 (х, а) = 0 аL₁  х L₁^. Аналогично, при а = 0 получаем, что х L₂^. И следовательно, х L₁^ L₂^.



Определение. Говорят, что подпространство L₂ ортогонально подпространству L₁, L₂ L₁, если b L₂, а L₁, (а, b) = 0 .

Упражнения.

1. Доказать, что L₂  L₁  L₂  L₁^.

2. Доказать, что ( L₁^)^ = L₁.

3. Доказать, что L₁^ + L₂^= (L₁ L₂)^.