7.3. Изоморфизм линейных пространств.
Определение. Отображение : L1 L2 линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если
- биекция,
- линейное отображение линейных пространств, то есть (х+у)= х + у, ( х) = х х,уL1, Р.
Тот факт, что линейные пространства L1 и L2 изоморфны, обозначают L1 L2 .
Упражнение.
Доказать, что если
:L1
L2
- изоморфизм
линейных пространств, то (0L
)=
0L
,
(-
a)=-
(a)
a
L1.
Утверждение. Если L1 L2 , то L2 L1 (это симметричность изоморфизма).
Доказательство. Пусть отображение :L1 L2 - изоморфизм линейных пространств. Так как - биекция, то существует отображение -1, и -1– биекция. Покажем, что -1- линейное отображение. Пусть -1х = а, -1у = b. Тогда а = х, b = у (а + b)= х + у -1(х + у)= а + b = -1х+ -1у,
( а) = х -1( х)= а = -1х.
Упражнения.
1. Доказать, что L1 L1 (это рефлексивность изоморфизма).
2. Доказать, что если L1 L2 и L2 L3 , то L1 L3 (это транзитивность изоморфизма).
Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.
Утверждение. Если L1 L2 , то dim L1 = dim L2.
Доказательство. Пусть : L1 L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп – базис линейного пространства L1. Покажем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L2. В самом деле, если у L2 , то -1у L1 ,
-1у=1е1 +…+пеп у = 1е1 +…+пеп . Кроме того, е1,…,еп – линейно независимы, так как если
1е1 +…+пеп = 0, то (1е1 +…+пеп) = 0 = (0)
1е1 +…+пеп = 0 (из инъективности ) 1 =…=п = 0.
Таким образом, любой вектор из L2 представляется в виде линейной комбинации векторов е1,…,еп , и из их линейной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что е1,…,еп –
базис в L2 .
Теорема. Если dim L = n, то L P n.
Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп – базис в L . Рассмотрим : L P n такое, что х = х1е1 +…+хпеп L
х= (х1 ,…,хп) P n. Из однозначности представления х в виде х = х1е1 +…+хпеп следует, что определено корректно. Биективность очевидна. Линейность требовалось доказать в упражнении в 7.2.
Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.