10.8. Основная теорема алгебры.

Определение. Поле K называется алгебраически замкнутым, если  f(x)  K[x], ст.f  0,    K такой, что f( )= 0.

Основная теорема алгебры. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.

Доказательство см., например, в §23 Курса высшей алгебры А.Г. Куроша.

Следствие. Если f(x) C[x], ст. f(x)= п  0, то  с₁ С такой, что f(с₁)= 0, и по теореме Безу f(х)= (х – с₁)g(x). Далее если ст.g(x) 0, то  с₂ С такой, что g(с₂)= 0, и

g(х)= (х – с₂)h(x)  f(х)= (х – с₁)(х – с₂)h(x) и т.д. В конце концов мы получим, что f(х) = (х – с₁)(х – с₂)…(х – с_п)а, где а= а_п - коэффициент при старшей степени х многочлена f. Следовательно, любой многочлен в C[x] степени п имеет п корней (с учетом кратностей) и раскладывается в произведение п множителей 1-й степени.

10.9. Формулы Виета. Пусть f(x) = х ^п + а_п-1х ^п-1+…+ а₀ – многочлен из P[x], ст.f(x) = n, и с₁, с₂,…,с_п – корни многочлена f(x) (такая ситуация будет иметь место всегда, если поле Р алгебраически замкнуто). Тогда

f(x) = (х – с₁)(х – с₂)…(х – с_п). Раскрывая скобки в правой части и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получим, что а_п-1 = – с₁ – с₂ –…– с_п = - ₁,

а_п-2 = = ₂, а_п-3= - = -₃,…, а₀ = (-1)^пс₁с₂…с_п = =(-1)^п_п, где ₁= с₁+ с₂+…+ с_п , ₂= , ₃ = ,…, _п = с₁с₂…с_п - так называемые элементарные симметрические многочлены от с₁, с₂,…, с_п. Полученные формулы называются формулами Виета.

10.10. Разложение многочлена на простые множители

в С[x] и в R[x].

1. Пусть f(x)  C[x], ст. f(x)= п. Тогда по следствию к

основной теореме алгебры f(x) можно разложить в произведение п множителей 1-й степени, и значит, при п1 f(x) – не простой многочлен. Следовательно, в С[x] простыми многочленами являются лишь многочлены 1-й степени, и наоборот, любой многочлен 1-й степени является простым.

2. Для f(x)= а_пх^п+ а_п-1х^п-1+…+ а₀  С[x] пусть по определению = х^п+ х^п-1+…+ , где все - комплексные числа, сопряженные к а_s . Очевидно, = f(x)  f(x) R[x],

и  z  C = .

Пусть f(x) R[x] С[x], ст. f(x) 0, и f(z) = 0, z  C. Тогда = = f( )= = 0  если z – корень многочлена f, то - также корень f. Таким образом, множество комплексных недействительных корней многочлена разбивается на пары взаимно сопряженных. Если z =  + i, = - i, то f(x)= (х – z)(x – )g(x), и (х – z)(x – )= х² – 2х + (² +²) – простой многочлен в R[x], дискриминант которого (– 4²) 0. Следовательно, если ст. f(x) 2, то f(x) – не простой многочлен, так как либо он имеет действительный корень и, соответственно, множитель 1-й степени, либо пару комплексно сопряженных недействительных корней и, соответственно, множитель 2-й степени. Значит, простые многочлены в R[x] – это либо многочлены 1-й степени, либо 2-й степени с отрицательным дискриминантом.

Замечание. Если f(x)R[x], ст.f(x)= п, и с₁,c_2,…,c_k – все действительные корни, z₁, ,…,z_m, - все комплексные корни многочлена f(x), то k+2m = n, и значит, 1) если п – нечетное число, то k  0, и действительные корни у f(x) существуют; 2) k  n (mod2), то есть числа k и n имеют одинаковую четность.

Лекция 23.