0. 27.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство L^п над полем С с ба-

зисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G  0, а f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)_g , а L^п с этим скалярным произведением - унитарное пространство: L^п = Н^п. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве Н^п существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор у =(y₁,y₂,…,y_n), то G(у)= |y₁|²+|y₂|² +…+|y_n|² (так как базис ортонормированный в смысле g), и

F(у)= ₁|y₁|²+₂|y₂|²+…+ _n|y_n|². Соответственно, если в этом базисе вектор z =(z₁,z₂,…,z_n ), то g(у,z) = y₁ + y₂ +…+y_n ,

f(y, z) = ₁y₁ + ₂y₂ +…+_ny_n .

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары эрмитовых квадратичных форм F и G, G  0, в линейном пространстве L^п над полем С существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть

= diag(₁,₁,…,_n) – диагональная матрица, причем все _iR, а =E. Это означает, что существует матрица Т= перехода к новому базису и такая, что

Т ^t = diag(₁,₁,…,_n), Т ^t = Е.

Так как коэффициенты ₁,…,_n формы F – это собственные значения линейного оператора  с матрицей = = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -E) = 0. Но = Т ^t , Е = Т ^t , и

det( -E) = det(Т ^t( –  ) )= 0  det( - )=0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц и . Многочлен = det( - ) называется характеристическим многочленом пары форм F, G (G > 0) а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов ₁,…,_n формы F нужно найти корни характеристическое уравнение пары форм.

Чтобы найти векторы базиса и = {и₁,…, и_n}, надо найти собственные векторы линейного оператора , решая однородные системы линейных уравнений ( - _iE) = [0] (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Заметим, что в качестве решения и_i мы получим набор координат

(0,0,…,0, ,0,…,0). Далее, ( -_iE) = Т ^t( -_i ) = =Т ^t( - _i )[x]= [0]  ( - _i )[x]= [0] – это уже СЛУ с известными матрицами , , а [x]= . И решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса .

Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса и

нужно для каждого _i решить СЛУ ( -_i )[x]= [0].

Различным значениям _i соответствуют g-ортогональные друг другу решения системы, и, если dim Ker( -  _i )= 1, то найденное решение x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину . Если же имеются кратные корни _i характеристического уравнения =0, то dim Ker( -  _i )  1, и найденные фундаментальные системы решений для СЛУ необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту. После этой процедуры мы получим ортонормированный базис . И теперь для получения базиса и надо перейти к базису, «комплексно сопряженному» к базису .

Лекция 39.

28. ГРУППЫ

Далее будем считать, если не оговорено противное, что

G – мультипликативная группа (то есть групповую опера­цию в G мы будем называть умножением),  - нейтрал в G.