7.4. Подпространства.

Пусть L - п-мерное линейное пространство над полем Р (так как L  P ⁿ, то, не теряя общности, можно было бы считать, что L = P ⁿ).

Утверждение. Пересечение любого семейства подпространств в L является подпространством.

Доказательство. Пусть L_i ,i I, - подпространства в L, где I – некоторое множество индексов, L = . Докажем, что L - подпространство в L.

I. Пусть х, у L  х, у L_i  i I  х+ у,  х L_i  i I,  P  х+ у,  х = L.

II.2. Так как 0_L  L_i  i I  0_L  = L.



Утверждение. Пусть L₁, L₂ – подпространства, и L₁ L₂ .

Тогда dimL₁ dimL₂ , и если dimL₁= dimL₂ , то L₁= L₂ .

Доказательство. Пусть L₁ L₂. Тогда базис подпространства L₁ является линейно независимой системой векторов в L₂ , и её можно дополнить до базиса L₂ . И значит, число векторов в базисе L₂ не меньше, чем число векторов в базисе L₁, то есть dimL₁ dimL₂. Если же dimL₁= dimL₂ , то любой базис

подпространства L₁ является базисом подпространства L₂ , и любой вектор из L₂ , являясь линейной комбинацией базисных векторов, содержится в L₁. Следовательно, L₂ L₁

L₂= L₁.



Рассмотрим способы задания подпространств в L.

Определение. Пусть векторы а₁,…,а_mL. Линейной оболочкой системы векторов {а₁,…,а_m} называется ³⁾наименьшее ¹⁾подпространство в L , ²⁾содержащее векторы а₁,…,а_m. Эту линейную оболочку мы будем обозначать <а₁,…,а_m>.

В нашем определении для линейной оболочки требуется выполнение трех условий: 1) <а₁,…,а_m> - подпространство, 2) это подпространство должно содержать векторы а₁,…,а_m, 3) среди всех таких подпространств линейная оболочка – наименьшее (по включению) подпространство, то есть содержится в любом другом подпространстве, для которого выполняются условия 1), 2).

Покажем, что линейная оболочка системы векторов существует.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов {а₁,…,а_m} равна пересечению всех подпространств из L, содержащих эти векторы.

Доказательство. Очевидно, множество таких подпространств не пусто, так как содержит тривиальное подпространство L. Далее, ¹⁾пересечение всех таких подпространств – подпространство, ²⁾содержащее векторы {а₁,…,а_m}. И наконец, ³⁾это подпространство - наименьшее, так как пересечение подмножеств содержится в любом из пересекающихся подмножеств.



Утверждение. <а₁,…,а_m>= {₁a₁ +…+_ma_m|₁,…,_m P}, то есть линейная оболочка системы векторов {а₁,…,а_m} равна множеству всевозможных линейных комбинаций векторов {а₁,…,а_m}.

Доказательство. ¹⁾Докажем, что

V = {₁a₁ +…+_ma_m|₁,…,_m  P} – подпространство.

I. Пусть х, у  V, x = ₁a₁ +…+_ma_m , y = ₁a₁ +…+_ma_m 

x+y=(₁+₁)a₁+…+(_m+_m)a_m , x= (₁)a₁+…+(_m)a_m V.

II.2. 0 = 0a₁ +…+0a_m  V.

²⁾Очевидно, а₁ = 1а₁ + 0а₂ +…+ 0а_m  V. Аналогично,

а₂,…, а_m V.

³⁾Пусть подпространство W а₁, а₂ ,…, а_m  все

₁a₁ +…+_ma_m W  V W.

Следовательно, V – наименьшее подпространство, содержащее векторы а₁, а₂ ,…, а_m  V = <а₁,…,а_m>.



Определение. Если V = <а₁,…,а_m>, то векторы а₁,…,а_m называются образующими подпространства V.

В этом случае любой вектор из V представляется в виде линейной комбинации системы образующих. Если к тому же векторы а₁,…,а_m линейно независимы, то такое представление однозначно, и система образующих является базисом линейного пространства V.

Лекция 15.

Определение. Рангом системы векторов {а₁,…,а_m} называется число rg {а₁,…,а_m} = dim<а₁,…,а_m>.

По аналогии с элементарными преобразованиями строк

матрицы или системы линейных уравнений (см.4.2) определим элементарные преобразования (ЭП) системы векторов S = {а₁,…,а_m}.

Определение. Будем говорить, что система векторов S получается из системы векторов S элементарным преобразованием I-го типа (S S), если i-й вектор системы S получается прибавлением к i-му вектору системы S j-го вектора системы S, умноженного на коэффициент с Р (j i). А все остальные векторы системы S совпадают с соответствующими векторами системы S.

При элементарном преобразовании II-го типа в системе S меняются местами i-й и j-й векторы.

При элементарном преобразовании III-го типа в системе S i-й вектор умножается на коэффициент с Р, с  0.

Если координаты системы векторов записывать по строкам матрицы, то при элементарных преобразованиях системы векторов происходят такие же элементарные преобразования со строками матрицы.

Упражнение. Доказать, что если S S, то S S, причем обратное ЭП - того же типа.

Докажем, что при элементарных преобразованиях не меняется линейная оболочка системы векторов и, следовательно, ранг системы векторов, то есть если S S, то <S>=< S> и rg S = rg S.

Утверждение. Если S S, то < S> <S>.

Доказательство. Так как S содержится в подпространстве <S>, то подпространство <S>- наименьшее подпространство, содержащее S - содержится в <S>, то есть < S> <S>.

Следствие. Если S S, то < S> <S>, и S S, то есть < S> <S>, и значит, <S>=< S>, и rg S = rg S.

Покажем, как находить ранг системы векторов S. Пусть

S = {а₁,…,а_m}, и в координатах a_i = (a_i1,…,a_in), i =1,…,m.

Запишем координаты векторов из S по строкам матрицы A, и будем делать над этими строками элементарные преобразования так (см. 4.2), чтобы привести эту матрицу к ступенчатому виду

= , где число ненулевых строк равно r, r 0, и все элементы  0, i = 1,…,r.

Полученную соответствующую систему векторов обозначим

= { }, где . Очевидно, <S> = < >= = < >= { |_iP}=

= < >. Покажем, что векторы линейно независимы. Пусть . Приравнивая координаты с номером k₁ в левой и правой частях равенства, получим = 0  ₁= 0. Затем приравняем координаты с номером k₂ в левой и правой частях равенства и получим = 0  ₂= 0. Далее переходим к координате с номером k₃ и т.д. Таким образом, мы получим, что ₁=…=_r = 0, векторы линейно независимы, то есть являются базисом в < > и в <S>. И значит, dim<S>= dim< >= rg S = rg = r.

Отсюда следует корректность определения ранга в 4.2 – так как r = dim<S>, то r не зависит от способа приведения матрицы к ступенчатому виду.