5.7. Разложение определителя по строкам.

Теорема.  i |A|= = .

Доказательство. Разложим |A^T| по i-му столбцу:

|A^T| = = - это и есть разложение определителя |A| по i-й строке.



5.8. Определитель матрицы с углом нулей.

Теорема. Пусть матрица Н имеет блочный вид:

Н = , где (пп)-матрица A = ,

(mm)-матрица C = , (nm)-матрица

B = , а (mn)-матрица 0 = . Тогда |H| = |A| |C|.

Доказательство. Рассмотрим |H| как функцию F(C) матрицы C. Эта функция полилинейна и кососимметрична относительна строк матрицы C. По обратной теореме об определителях F(C) = |C|, где  = F(E) = det . Если разложить последний определитель по последней строке, то получим F(E) =(-1)^n+m+п+mM_n+m,п+m . Далее снова раскладывая определитель M_n+m,п+m по последней строке и повторяя эту процедуру m – 1 раз, получим, что  =F(E)=|A|, и |H|=|A||C|.



5.8. Теорема о полном разложении определителя.

Запишем k-ю строку определителя матрицы А в виде А_k=(а_k1,а_k2,…,а_kn )=а_k1(1,0,0,…,0)+а_k2(0,1,0,…,0)+а_kn(0,0,…,1)= = а_k1E₁ + а_k2E₂ +…+ а_knE_n = , k = 1,…, n, где

Е_s = (0,..,0,1,0,…,0) – здесь 1 стоит на s–м месте. Тогда

|A| = det(А₁ ,…, А_n) = det( ,…, ) =

= , и в этой сумме из пⁿ слагаемых все слагаемые, у которых существуют одинаковые индексы i_p= i_q , равны нулю, так как определители

det(E ,E ,…,E ) с одинаковыми строками E = E равны нулю. Следовательно, можно считать, что

|A| = = ,

где все индексы i₁,…,i_n в слагаемых различны, то есть образуют перестановку чисел 1,…,п; число слагаемых, следовательно, равно п!; () = det(E ,E ,…, E ), а

 = - подстановка.

Утверждение. ()=+1, если  - четная, и () = - 1, если  - нечетная.

Доказательство. Очевидно, матрица со строками

E ,E ,…, E получается из единичной матрицы Е при помощи действия на столбцы подстановкой . По утверждению из 3.2, если количество инверсий в нижней строке подстановки  равно m, то  можно разложить в произведение m транспозиций. И столбцы в матрице Е можно либо переставить все сразу с помощью , либо переставить за m шагов, переставляя при помощи транспозиций каждый раз только два столбца. Так как при каждой перестановке столбцов определитель меняет знак, то () = det(E ,E ,…, E )= (- 1 )^m. Следовательно, если m - четно, то () = + 1, а если m - нечетно, то () = - 1.



Следствие. Если подстановку  можно разложить одним способом в произведение р транспозиций и другим способом в произведение q транспозиций, то четность p и q одинакова.

Доказательство. В самом деле, ()=det(E ,E ,…,E )= = (- 1 )^p =(- 1 )^q  четность p и q одинакова.



Таким образом, нами доказана

Теорема о полном разложении определителя.

|A| = , где  = , () = + 1, если  - четна, и () = - 1, если  - нечетна.

Замечания.

1. Как мы видим, определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений элементов матрицы, выбранных по одному из всех (различных) строк и всех (различных) столбцов, взятых со знаком + или – .

2. Очевидно, |A| = .