5.2. Вычисление определителей.

Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.

Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.

Доказательство. det(А₁ ,…, А_i+cА_j ,…, А_j ,…, А_n) =

= det(А₁ ,…,А_i ,…, А_j ,…, А_n) + det(А₁ ,…,cА_j ,…, А_j ,…, А_n)=

= detА + сdet(А₁ ,…,А_j ,…, А_j ,…, А_n) = detА + с 0 = detА .



Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA  n, то в матрице существует нулевая строка. В частности п-я строка = (0, 0,…,0) = 0 и |A| = (-1)^t| | = =(-1)^tdet( ,…, )=(-1)^tdet( ,…,0 )=(-1)^t0det( ,…, )=

= 0.

Если rgA = n, то матрица имеет треугольный вид

= , и | | = = … , а

|A| = (-1)^t| | =(-1)^t … .

Лекция 8.

5.3. Обратная теорема об определителях.

Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы. Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место

Обратная теорема. Пусть F(A) – полилинейная кососим­метричная функция строк (пп)-матрицы А. Тогда F(A)= с|A|, где с Р, с = F(E), а Е – единичная матрица,

Е = .

Доказательство.

1. Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию

F(А₁,…,А_n) строк А₁,…,А_n матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i-й строке. То есть для любого i должны выполняться два свойства:

F(А₁ ,…, А_i+А_i ,…, А_n) = F(А₁ ,…, А_i ,…,А_n)+ F(А₁ ,…,А_i ,…, А_n), F(А₁ ,…, cА_i ,…, А_n) =cF(А₁ ,…, А_i ,…,А_n).

Кососимметричность функции F по строкам означает, что если при i  j А_i = А_j , то F(А₁ ,…,А_i ,…, А_j ,…, А_n) = 0. Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для определителей следует, что

F(А₁ ,…, А_i ,…,А_j ,…, А_n) = - F(А₁ ,…, А_j ,…, А_i ,…, А_n), то есть при ЭП-II над строками функция F, как и det, меняет знак. А при ЭП-I функция F, как и det, не меняется – доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7.

2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA  n, то в матрице п-я строка = (0, 0,…,0) и |A| = (-1)^t| | = 0. Аналогично F(A) = (-1)^tF( ) = (-1)^tF( ,…, ) = (-1)^tF( ,…,0 ) =

= (-1)^t0F( ,…, )= 0. И значит, F(A) = c|A|.

3. Если rgA = n, то матрица - треугольная, то есть

= , и |A| = (-1)^t| | =(-1)^t …  0.

Приведем к диагональному виду с помощью ЭП-I следующим образом: вычтем п-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Затем вычтем (п – 1)-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Продолжим эту процедуру до конца, пока не получим из с помощью только ЭП-I диагональную матрицу

= = diag .

Тогда строки = ( , 0,…,0)= (1, 0,…,0),

= (0, , 0,…,0)= (0,1, 0,…,0) и т.д.,

и F(A)=(-1)^tF( ) =(-1)^tF( ) = (-1)^t … F(E)=F(E)|A|.

