21. Унитарные векторные пространства

21.1. Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство H над полем C называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если на Н фиксирована функция двух векторных аргументов х, у  Н со значениями в С, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1. (х + у, z) = (х, z) + (у, z)  х, у, z  Н,

2. (x, y) =  (x, y)  х, у  Н,    С,

3. (x, y) =  х, у  Н (черта над числом означает комплексное сопряжение) ,

4. (x, x)  0  х  Н, x  0.

Заметим, что из свойства 3 комплексное число (x, x) яв-

ляется действительным, так как (x, х) = , и неравенство в свойстве 4 имеет смысл.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется эрмитовостью скалярного произведения, свойство 4 называется положительной определённостью.

Следствия из определения.

1. (х,у+z)= = + = (х, у)+ (х, z)  х, у, z Н.

2. (х, у) = = = (х, у)  х, у  Н,    С.

Следствие 1 означает, что для скалярного произведения выполняется одно из двух свойств линейности по второму аргументу. Следствие 2 показывает, что второе свойство линейности по второму аргументу не выполняется. Поэтому скалярное произведение в Н называют полуторалинейной эрмитовой положительно определенной функцией.

3. (0_Н, х) = (0_С0_Н , x) = 0_С(0_Н , x) = 0_С  (0_Н , 0_Н) = 0_C.

4. Пусть е = {е₁,…, е_n } – базис в Н, .

Тогда (x, y) = ( ) = = ,

где _i,j = (e_i,е_j), а матрица Г = = (_i,j) называется матрицей Грама. Очевидно, (x,y)= = =[ ] ^tГ , и Г ^t = . Черта над матрицей означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженные.

Примеры.

1. Для пространства Сⁿ строк длины п определим скалярное произведение следующим образом: пусть для х = (х₁,…,х_п), у= (у₁,…,у_п) по определению (х, у) = х₁ +…+ х_п .

2. Для пространства C_С[a,b] непрерывных комплексных фун­-

кций на отрезке [a,b] (то есть функций вида f₁(х)+ if₂(х), где f₁(х), f₂(х) – непрерывные действительные функции на [a,b]) пусть и по определению (f, g)=  f, g C_С[a,b].

Упражнение. Доказать, что в примерах 1, 2 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения унитарного пространства, то есть полученные пространства являются унитарными.

Определения.

1. Назовём длиной вектора х  Н выражение | x | = . Так как (x, x)  0  х  Н, то длина определена  х  Н.

2. Будем говорить, что векторы х, уН ортогональны, х  у, если (х, у) = 0.

Упражнение. Сформулировать для унитарных пространств определения, утверждения, упражнения и теоремы, аналогичные определениям, утверждениям, упражнениям и теоремам из п.18.2 для евклидовых пространств, и доказать

сформулированные утверждения, упражнения и теоремы.

22. Унитарные линейные операторы

22.1. Определение. Свойства.

Определение. Линейный оператор  : Н  Н на унитарном пространстве Н называется унитарным, если

( х,  у) = (х, у)  х, у  Н.

Утверждение 1. Если  - унитарный оператор, то  - невырожденный.

Доказательство. Если х Ker , то ( х,  х) = (х, х) = 0  х = 0  Ker  = 0.

Утверждение 2. Если  - унитарный оператор, то

 ^-1 - унитарный оператор.

Доказательство. Пусть  ^-1х = а,  ^-1у = b. Тогда (а, b) = = ( a,  b) = (x, y)  (x, y)= (а, b) = ( ^-1х,  ^-1у).

Следовательно, унитарный оператор – это автоморфизм унитарного пространства Н (изоморфизм Н на себя).

Теорема 1. Для унитарного оператора  : Нⁿ  Нⁿ эк­вивалентны следующие 14 условий:

1. ( х,  у) = (х, у)  х, у  Нⁿ.

2. ( е_s,  e_t) = (е_s, e_t)  s, t  (для некоторого) базиса

е = {е₁,..,e_n} в Нⁿ.

3. ( u_s , u_t) = (u_s, u_t) = _st  s, t  (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и₁,..,и_n} в Нⁿ.

4. { u₁ ,…, u_n } – ортонормированный базис.

5. = = _s,t , где _i,j = (е_i, e_j) –

элементы матрицы Грама, а (a_i,j) = [ ].

6. = _s,t , где (b_s,t) = [ ].

7. [ ] ^t = .

8. [ ] ^t = Е и ^t [ ] = Е .

9. [ ]^-1 = ^t.

10. [ ] ^t = Е .

11. = _s,t.

12. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в Cⁿ.

13. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным базисом в пространстве столбцов C_п.

14. [ ]^t – матрица унитарного оператора.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из п.19.1.

Упражнение. Доказать теорему 1.

Следствие. Если  - унитарный оператор, то |det  | = 1, то есть det - комплексное число, у которого модуль равен 1.

Доказательство. Так как [ ] ^Т = Е, то det =

= detЕ = 1  |det  |² = 1  |det  | = 1 .