24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.

Пусть : L L - невырожденный линейный оператор, и g(x, y) - билинейная форма на пространстве L. Пусть по определению g^(x, y)= g( x, y). Аналогично для квадратичной формы по определению G^(x) = G( x).

Упражнение. Проверить, что 1. g^ - билинейная форма,

2. (g^ )^ = g^{ }, 3. g ^id = g, 4. если f = g^ , то g = .

Будем говорить, что билинейные формы f и g на пространстве L (соответственно, квадратичные формы F и G) находятся в отношении ~ (f ~ g, F ~ G), если существует невырожденный линейный оператор : L L такой, что f = g^ (соответственно, F = G^).

Если  - унитарный оператор в Н^п (или ортогональный оператор в Е^п), то будем говорить, что формы f и g (F и G) находятся в отношении .

Упражнение. Проверить, что отношения ~ и  являются отношениями эквивалентности на множестве билинейных (соответственно, квадратичных) форм.

Определение. Формы f и g (соответственно, F и G) на-

зываются эквивалентными, если f ~ g (F ~ G).

Формы f и g (F и G) называются унитарно эквивалентными (ортогонально эквивалентными в случае Е^п), если f  g (F  G).

Так как g^(x, y) = g( x, y) = [ x] ^t[g][ y] =

= [x]^t []^t [g][][ y] = [x]^t([]^t[g][])[y] = [x]^t[g^][y], то

= [] ^t [] = = , где е =  е. Аналогично,

= [] ^t [] = = .

Следовательно, f ~ g  в произвольном базисе

[f] = T ^t[g]T, где T – некоторая невырожденная матрица. Так же f  g  в произвольном ортонормированном базисе

[ f ] = T ^t[g]T, где T – некоторая унитарная (ортогональная

при L = Е^п) матрица. Очевидно, Т = []. Для квадратичных форм всё аналогично.

Следствие 1. f ~ g  в L существуют базисы e и e такие, что . Соответственно, f  g  в L - существуют ортонормированные базисы e и e такие, что .

Следствие 2. Если f ~ g, то rg f = rg g, то есть эквивалентные формы имеют равные ранги.

Действительно, rg f = rg = rg g.

Введенные нами отношения эквивалентности ~ и  разбивают множество билинейных (квадратичных) форм, определенных на пространстве L над P, на непересекающиеся классы эквивалентных форм. При изучении фактор-множества возникают важные вопросы: какой наиболее простой вид может иметь представитель каждого класса эквивалентных форм, сколько существует различных классов, какие формы эквивалентны, насколько выбором базиса в L можно упростить матрицу билинейной и квадратичной формы. Эти вопросы мы и будем далее рассматривать для квадратичных и симметричных билинейных форм.

Лекция 35.

24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.

Пусть L - линейное пространство над произвольным полем Р, char P  2, f(x, y) – симметричная билинейная форма на L, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Определение. Будем говорить, что векторы х, у из L ортогональны в смысле f (или f-ортогональны), если f(x, y)= 0.

Этот факт мы будем обозначать так: х_f у.

Теорема. В L существует f-ортогональный базис.

Доказательство.

1. Если F(x) = 0  x  L, то из (24.2) f(x, y) = 0  x, у 

любой базис в L является f-ортогональным.

2. Если же  е  L такой, что F(е)  0, то пусть е = е₁,

L₁ = <е₁>, L₂ = {x L | f(е₁, x) = 0}. Легко проверить, что L₂ – подпространство. Будем называть L₂ ортогональным дополнением к L₁ в смысле формы f и обозначать . Докажем, что L = L₁  .

a) Пусть х L₁ . Тогда х=  е₁  f(е₁,е₁)= f(е₁, е₁) = =  F(е₁) = 0   = 0  x = 0  L₁ = 0.

б) Покажем, что  х  L    Р такое, что х = е₁ + у, где у  . В самом деле, у   (х - е₁)_f е₁ 

f(х - е₁, е₁) = 0   = f(х, е₁)/ f(е₁, е₁) (так как f(е₁, е₁)= =F(е₁) 0).

Таким образом, L = L₁  , dim = n – 1, и для можно считать, что утверждение теоремы выполнено по предположению индукции, то есть в  f-ортогональный базис {е₂,е₃,…,е_n}. Тогда, очевидно, {е₁,е₂,…,е_n} - f-ортого- нальный базис в L.



Итак, мы нашли базис e = {е₁,…,е_n} такой, что f(е_i, е_j) = 0 при i  j. Пусть f(е_i, е_i) =  _i . Тогда в этом базисе

= diag(₁,…, _n); f(x, y) = , F(x) = , и такой вид билинейной и квадратичной форм называется каноническим. Следовательно, любая симметричная билинейная форма и любая квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную симметричную билинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(е_i, е_i) =  _i  0 при i = 1,…,r и f(е_i, е_i) = 0 при

i = r+1,…,п. Тогда r = rg f, и r от базиса не зависит.

Рассмотрим случай Р = С. Возьмём _i  С такие, что

_i² =  _i при i = 1,…,r, _i = 1 при i = r+1,…,п. Тогда после замены координат z_i = _ix i получим F(x)= z₁²+…+z_r² - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Итак, нами доказана

Теорема. В линейном пространстве над полем С для любой квадратичной формы F существует базис e={e₁,…,e_п}, в котором форма имеет нормальный вид, то есть для х=

F(x) = z₁²+…+z_r². Соответствующая симметричная билинейная форма имеет нормальный вид f = z₁ w₁+…+z_r w_r.

Следствие. Над полем С класс эквивалетных форм определяется рангом r. Формы с одинаковым рангом эквивалентны, формы с разными рангами не эквивалентны. Существует r+1 классов эквивалентных форм.

Теперь рассмотрим случай Р = R. Будем считать, что форма F имеет канонический вид F(x) = ₁х₁²+…+_sx_s² –

- _s+1х_s+1²-…- _s+t х_s+t², где все _i  0, s+t = r. Пусть _I = при i = 1,…,r, _i = 1 при i = r+1,…,п. Тогда после замены координат z_i= _ix i получим F(x)= z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…-z_s+t² - такой вид квадратичной формы в случае поля R называется нормальным.

Таким образом, нами доказана

Теорема. В линейном пространстве L над полем R для любой квадратичной формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид F(z) = z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…-z_s+t². Соответствующая симметричная билинейная форма f имеет нормальный вид f(z, w) = z₁ w₁+…+z_s w_s – z_s+1w_s+1-…- z_s+tw_s+t.

Определения.

1. Квадратичная форма F называется положительно определённой или положительной (F  0), если  x  0 F(x) 0. Тогда и f называется положительно определенной, f  0.

Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид

F(z) = z₁²+…+z_п², и s = n, t = 0.

2. Аналогично, F - отрицательно определённая или отрицательная (F  0), если  x  0 F(x)  0. Тогда и f  0.

В этом случае F имеет нормальный вид

F(z) = - z₁²-…- z_п², где s = 0, t = п.

3. Будем говорить, что F неотрицательно определённая

(F  0), если  x  0 F(x)  0. Тогда и f  0.

Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид

F(z) = z₁²+…+z_s², где s  n, t = 0.

4. Также F - неположительно определённая (F  0), если

 x  0 F(x)  0. Тогда и f  0, а F имеет нормальный вид

F(z) = - z₁²-…- z_t², где s = 0, t  n .

5. И наконец, F - неопределённая, если  x такой, что F(x) 0, и  у такой, что F(у)  0. Тогда и f – неопределённая, а F имеет нормальный вид F(z) = z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…- z_s+t², где

s  0, t  0 .