20.3. Самосопряженные линейные операторы.

Определение. Линейный оператор : Е^п  Е^п называет-

ся самосопряженным, если * =  , то есть если  х, у  Е^п ( х,у) = (х,  у).

Теорема. Для линейного оператора  на Е^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

условий  = *) :

1. ( x, у) = (х,  у)  х, у  Е^п.

2. ( е_i ,е_j)= (е_i , е_j)  i, j  (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. ( и_i ,и_j)= (и_i , и_j)  i, j  (для некоторого) ортонормированного базиса и в Е^п.

4. [ ] ^t = [ ], где - матрица Грама для базиса е .

5. [ ] ^t = [ ], то есть [ ] – симметричная матрица.

Доказательство следует из теоремы из п. 20.2.

20.4. Структура самосопряженного оператора.

Лемма. Пусть  : Е^п Е^п - самосопряженный оператор, Е^п L - -инвариантное подпространство. Тогда L^ - -инва- риантное подпространство.

Доказательство.  х L, y  L^ ( x, y) = 0 = (x, y)  (L^) L  (L^) L^ .



Пусть  : Е^п  Е^п - самосопряженный оператор. По теореме из п. 16.7 в Е^п  L₁ - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L₁^ - -инвариантное подпространство, и Е^п = L₁ L₁^. Так как  на L₁^ - самосопряженный оператор, то в L₁^  L₂ - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L к L₂ в L₁^ также -инвариантно. Далее,

Е^п = L₁L₂L, и в L  L₃ - -инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Е^п = L₁L₂…L_q , где все L_i – подпространства размерности 1 или 2, -инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и₁, и₂>, где {и₁, и₂} – ортонормированный базис в L, и

 : L  L - самосопряженный оператор, то [ ] = , и характеристический многочлен _(t)= t²- (a+c)t + ac - b². Его дискриминант (а+с)² – 4(ас - b²) = (а – с)² + b²  0  в L  собственный вектор,  одномерное -инвариантное подпространство  L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных -инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Е^п = L₁L₂…L_q можно считать, что все L_i – подпространства размерности 1, попарно ортогональны и -инвариантны. Значит, n = q, и

Е^п = L₁L₂…L_п .

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и  : L L - самосопряженный оператор, то  е =  е,  R.

В разложении Е^п = L₁L₂…L_n выберем в каждом L_i

единичный вектор и_i . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Е^п. В этом базисе матрица самосопряженного оператора  имеет вид:

[ ] = diag(₁,₂,…,_n). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого самосопряженного оператора

 : Е^п  Е^п  ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица  имеет вид:

[ ] = diag(₁,₂,…,_n), где все _s R. Наоборот, если

[ ] = diag(₁,…,_n), где все _s R, то  - самосопряженный.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой симметричной матрицы А  ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ = diag(₁,₂,…,_n), где все _s R.

Лекция 32.