- •20.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •11.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •Введение
- •1. Основные определения, методы и принципы механики материалов
- •1.1. Задачи, цель и предмет механики материалов
- •1.2. Краткая история развития науки о механике материалов
- •1.3. Расчетная схема. Типовые формы элементов
- •1.4. Внешние силы и их классификация
- •1.5. Основные гипотезы и принципы механики материалов
- •1.6. Контрольные вопросы
- •2. Внутренние силы и усилия. Метод сечений
- •2.1. Понятие о внутренних силах и напряжениях
- •2.2. Внутренние усилия
- •2.3. Выражение внутренних усилий через внешние силы
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3. Механические характеристики материалов
- •3.1. Испытание материалов на растяжение
- •3.2. Пластическое и хрупкое разрушение материалов
- •3.3. Концентрация напряжений
- •3.4. Расчеты элементов конструкций (сооружений) на прочность по допускаемым напряжениям и нагрузкам. Коэффициент запаса прочности
- •3.5. Контрольные вопросы
- •4. Растяжение и сжатие
- •4.1. Деформации при растяжении и сжатии
- •4.2. Напряжения при растяжении и сжатии
- •4.3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона
- •4.4. Условия прочности и жесткости
- •4.5. Потенциальная энергия упругой деформации
- •4.6. Пример расчета
- •4.7. Статически неопределимые системы
- •4.7.1. Определение монтажных напряжений, вызванных технологическими неточностями
- •4.7.2. Определение температурных напряжений
- •4.8. Задачи для самостоятельного решения
- •4.9. Контрольные вопросы
- •5. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •5.1. Статические моменты площади сечения
- •5.2. Определение центра тяжести сечения
- •5.3. Осевой, центробежный и полярный моменты инерции сечения. Общие свойства
- •5.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей
- •5.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •5.6. Вычисление главных моментов инерции и определение положения главных центральных осей. Радиусы инерции
- •5.7. Моменты инерции простых сечений
- •5.8. Окружность инерции Мора
- •5.9. Моменты сопротивления сечений
- •5.10. Пример расчета
- •5.11. Задачи для самостоятельного решения
- •5.12. Контрольные вопросы
- •6. Сдвиг
- •6.1. Основные понятия о деформации сдвига. Абсолютный и относительный сдвиг
- •6.2. Внутренние усилия при деформации сдвига. Напряжения при сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига
- •6.3. Связь между модулями упругости e и g для изотропного тела
- •6.4. Расчет на прочность при сдвиге. Потенциальная энергия деформации при сдвиге
- •6.5. Практические примеры деформации сдвига – расчет заклепочных и болтовых соединений на срез и смятие.
- •6.6. Пример расчета
- •6.7. Контрольные вопросы
- •7.2. Закон парности касательных напряжений
- •7.3. Главные площадки и главные напряжения
- •7.4. Линейное напряженное состояние
- •7.5. Плоское напряженное состояние
- •7.6. Круг напряжений Мора
- •7.7. Объемное напряженное состояние
- •7.8. Деформированное состояние
- •7.9. Обобщенный закон Гука
- •7.10. Потенциальная энергия деформации
- •7.11. Пример расчета
- •7.12. Контрольные вопросы
- •8. Теория прочности
- •8.1. Назначение и сущность теорий прочности. Эквивалентное напряженное состояние и эквивалентное напряжение
- •8.2. Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •8.3. Критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)
- •8.4. Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •8.5. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности)
- •8.6. Теория прочности Мора
- •8.7. Пример расчета
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
- •8.9. Контрольные вопросы
- •9. Изгиб
- •9.1. Общие сведения об изгибе балок. Виды изгиба. Чистый изгиб. Поперечный изгиб. Допущения
- •9.2. Внутренние силовые факторы при изгибе. Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.3. Построение эпюр изгибающего момента м и поперечной силы q при изгибе
- •9.4. Дифференциальные зависимости при изгибе. Контроль правильности построения эпюр
- •9.5. Касательные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.6. Условия прочности при изгибе по нормальным и касательным напряжениям
- •9.7. Рациональные формы поперечного сечения балок
- •9.8. Главные напряжения при изгибе
- •9.9. Деформации при изгибе. Угол поворота и прогиб сечения. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •9.10. Способы определения перемещений при изгибе
- •С помощью интеграла Мора
- •Верещагина
- •9.11. Балки переменного сечения. Определение деформаций
- •, Откуда ;
- •, Откуда .
- •9.12. Расчет статически неопределимых балок.
- •Промежуточного шарнира
- •9.13. Пример расчета
- •9.14. Контрольные вопросы
- •10.2. Угол закручивания. Главные напряжения. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении
- •10.3. Расчет на прочность и жесткость круглого и кольцевого поперечного сечения. Расчет валов по заданной мощности и частоте вращения
- •10.4. Статически неопределимые задачи на кручение
- •10.5. Расчет цилиндрических винтовых пружин с малым шагом витков
- •10.6. Пример расчета
- •10.7. Задачи для самостоятельного решения
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11. Сложное сопротивление
- •11.1. Особенности расчета брусьев при сложном сопротивлении
- •11.2. Косой изгиб, основные понятия. Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Нахождение опасного сечения
- •11.3. Положение нейтральной оси и опасных точек
- •11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные
- •11.5. Нейтральная ось, ее уравнение и свойства
- •11.6. Положение опасных точек. Условие прочности
- •11.7. Понятие о ядре сечения при внецентренном растяжении
- •11.8. Изгиб с кручением пространственного вала
- •11.9. Определение положения опасного сечения и диаметра вала с использованием третьей и четвертой теорий прочности
- •11.10. Пример расчета
- •11.11. Контрольные вопросы
- •12.2. Критическая сила. Формула Эйлера. Влияние закрепления концов стержня на величину критической силы
- •12.3. Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского
- •12.4. Расчеты сжатых стержней на устойчивость при помощи коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие
- •12.5. Выбор материалов и рациональной формы поперечных сечений сжатых стержней
- •12.7. Пример расчета
- •12.9. Задачи для самостоятельного решения
- •12.10. Контрольные вопросы
- •13. Динамические нагружения
- •13.1. Виды динамических нагрузок. Учет сил инерции. Критическая скорость вращения вала
- •13.2. Элементарная теория удара. Динамический коэффициент. Продольный и поперечный удар
- •13.3. Удар при кручении. Защита приборов и оборудования от ударов. Определение напряжений при ударном воздействии
- •13.4. Пример расчета
- •13.5. Задачи для самостоятельного решения
- •13.6. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Двутавры стальные горячекатаные (по гост 8239–89)
- •Швеллеры стальные горячекатаные (по гост 8240–89)
- •Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по гост 8509–86)
- •Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (по гост 8510–86)
- •Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения φ при продольном изгибе
13.3. Удар при кручении. Защита приборов и оборудования от ударов. Определение напряжений при ударном воздействии
Определим динамический крутящий момент и динамическое напряжение, возникающее в сечении вала при ударе, вызванном внезапной остановкой его левого конца А.
Пусть вал с диском (массой), момент инерции которого относительно продольной оси вращения равен Jm>0, вращается с угловой скоростью. Если внезапно остановить левый конец стержня, то вся кинетическая энергия, которой обладает диск, обратится в потенциальную энергию деформации вала (рис. 13.15).
Рис. 13.15. Схема крутильного удара
Энергия диска вызывает динамический крутящий момент. Кинетическая энергия диска
Потенциальная энергия, накопленная в брусе,
где Мдин – действующий крутящий момент, эквивалентный по результатам своего действия явлению крутящего удара;
– динамический угол закручивания вала.
Согласно закону сохранения энергии имеем:
·
Учитывая, что
получим
тогда
где ω – угловая скорость вращения системы;
GJк – жесткость сечения вала при кручении;
Jm – момент инерции массы диска относительно оси вращения;
l – длина части бруса, подвергающейся деформации.
Зная Mдин, находим максимальное напряжение при крутящем yдаре, как при статическом кручении:
для круглого сечения:
Динамический угол закручивания:
Условие прочности при динамическом нагружении:
где [] – допускаемая величина нормальных напряжении при ударе.
Для пластичного материала
Величину коэффициента запаса можно было бы выбрать равной величине основного коэффициента запаса n при статическом действии нагрузок (1,4–1,6), так как динамичность уже учтена динамическим коэффициентом. Однако, учитывая, что рассмотрен приближенный метод расчета на удар, этот коэффициент принимают несколько завышенным (до 2). Кроме того, обычно в этих случаях применяют материал более высокого качества в отношении однородности и пластических свойств.
13.4. Пример расчета
Задача 1. Шахтная подъемная машина поднимает равноускоренно груз G = 50 кН. За первые 3 с груз поднимается на высоту h = 18 м. Длина каната l = 200 м. Удельный вес материала каната γ = 78 ×103 Н/м, допускаемое напряжение . Определить площадь поперечного сечения каната с учетом и без учета его собственного веса.
Решение.
1. Определим ускорение, с которым поднимается груз G:
2. Определим площадь поперечного сечения каната без учета его собственного веса по формуле
3. Определим площадь поперечного сечения каната с учетом его собственного веса из условия прочности по формуле
откуда
.
Задача 2. Вал AB диаметром d = 50 мм равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . На рычаге СД с валом жестко соединен груз G = 200 H (рис. 13.16, а). Проверить прочность вала, если . Собственным весом системы пренебречь.
Решение.
1. Составляем расчетную схему (рис. 13.16, б). Определим усилие, действующее на вал от груза G при его вращении:
2. Методом сечений строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13.16, в).
3. Проверяем прочность вала:
Мmax = 1915 Hм;
σmax = 156 Мпа < [σ] = 160 МПа.
Прочность вала обеспечена.
Рис. 13.16. Схема вала с грузом на рычаге
Задача 3. Стальная проволока ОА длиной l = 0,8 м и диаметром d = 2 мм равномерно вращается вокруг точки О (рис. 13.17). На конце проволоки подвешен груз G = 20 H. При какой угловой скорости произойдет разрушение проволоки, если σв = 800 МПа?
Рис. 13.17. Схема вращающегося груза
на проволоке
Решение.
1. Определяем площадь поперечного сечения проволоки:
2. Усилие, возникающее в проволоке при вращении груза вокруг точки О, определяется по формуле
3. Определим напряжение, возникающее в проволоке:
тогда
откуда
Задача 4. Определить максимальное нормальное напряжение в стальном шатуне АВ прямоугольного поперечного сечения b h = 20 50 мм (рис. 13.18). Кривошип СА вращается с угловой скоростью = 30 c–1. Удельный вес материала шатуна
Решение.
1. Составляем расчетную схему (рис. 13.18, б).
2. Определим площадь поперечного сечения шатуна:
A = b h = (2050) 10–6 = 1 10–3 м2.
3. Определим нормальное ускорение точки А шатуна:
4. Определим нормальное ускорение точки B шатуна:
5. Находим максимальную интенсивность сил инерции шатуна:
6. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13.18, в).
Рис. 13.18. Схема кривошипно-шатунного механизма
7. Вычисляем максимальные нормальные напряжения:
.
Задача 5. Стальные стержни Ӏ и ӀӀ испытывают удар одинаковым грузом G = 10 Н, падающим с одинаковой высоты h = 0,1 м (рис. 13.19). Определить и сравнить возникающие в стержнях динамические напряжения. Массой стержня пренебречь. E = 2 105 МПа.
Рис. 13.19. Схема стержней, испытывающих удар
Решение.
I вариант.
1. Определим cтатическое напряжение, действующее в поперечном сечении стержня (рис. 13.19, а):
2. Определим абсолютную деформацию стержня при статической нагрузке:
3. Определим динамический коэффициент:
4. Определим динамическое напряжение в поперечном сечении стержня:
II вариант.
5. Определим статическое напряжение:
6. Определим абсолютную деформацию ступенчатого стержня при статической нагрузке:
.
7. Определим динамический коэффициент:
8. Определим динамическое напряжение в поперечном сечении ступенчатого стержня:
на
Задача 6. Стальной стержень диметром d = 25 мм и длиной l = 1,5 м растянут внезапно приложенной силой F = 25 кH. Определить напряжение и удлинение стержня.
Решение.
1. При внезапном приложении нагрузки к стальному стержню
2. Определяем динамические напряжения:
3. Определяем удлинение стержня:
Задача 7. Проверить прочность деревянной консольной балки прямоугольного поперечного сечения b h = 60 100 мм, на конец консоли которой падает груз G = 10 H (рис. 13.20). Скорость груза к моменту соударения ν = 2 м/с;
Рис. 13.20. Схема деревянной консольной балки
Решение.
1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения:
2. Определим статический прогиб на консоли балки:
3. Определим динамический коэффициент:
4. Определим максимальные статические напряжения:
5. Определим максимальные динамические напряжения:
Условие прочности соблюдается.
Задача 8. Маховик диаметром D = 0,2 м и весом G = 0,5 кH, насаженный на вал AB длиной l = 1 м и диаметром d = 60 мм (рис. 13.21), вращается с угловой скоростью . Определить величину наибольших касательных напряжений в тот момент, когда конец вала внезапно останавливается (крутящий удар). Массой вала пренебречь; .
Решение.
1. Определим изменение кинетической энергии в момент удара:
или
откуда
Рис. 13.21. Схема вала с маховиком
2. Определим момент инерции массы маховика:
3. Полярный момент инерции:
4. Полярный момент сопротивления:
5. Определим крутящий момент на валу:
6. Определим касательные напряжения в поперечном сечении вала: