9.3. Построение эпюр изгибающего момента м и поперечной силы q при изгибе

При расчете балок на изгиб необходимо знать законы распределения внутренних усилий в поперечных сечениях и уметь строить эпюры внутренних силовых факторов.

Рассмотрим три основных типа опорных связей балки.

1. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 9.7, а  левая опора балки), ограничивающая горизонтальное и вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему двух степеней свободы.

2. Шарнирно-подвижная опора (рис. 9.7, а  правая опора балки), ограничивающая вертикальное перемещение опорной связи и лишающая систему одной степени свободы.

3. Жесткая заделка (рис. 9.7, б), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизонтали сечения балки, примыкающего к опоре и лишающая систему трех степеней свободы.

Рассмотрим построение эпюр М и Q на конкретном примере (рис. 9.7, а). Решение задачи начинаем с вычерчивания расчетной схемы, приложив к балке внешние активные и реактивные силы. Заданная система является статически определимой, следовательно, из условий равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных закреплений определяем вертикальные реакции в опорах:

;

.

Для определения реакции Н_А имеем:

откуда Н_А = 0.

Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил у = 0, откуда получим:

, реакции найдены верно.

Рис. 9.7. Расчетная схема однопролетной балки

Для определения внутренних силовых факторов (изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q(z)), как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для получения этих зависимостей разбиваем балку на участки, границами которых являются следующие сечения: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенной нагрузки; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; точки, где происходит изменение положения элементов стержневой системы со сложной структурой.

Заданная балка (рис. 9.7, в) состоит из двух участков  первого (0  z₁ a) и второго (a  z₂  a + b). Рассматривая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и равновесие отсеченных частей балки при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, составим общие уравнения для внутренних силовых факторов.

В системе координат y0z, принятой на рис. 9.8, а, положительный момент вызывает растяжение нижних волокон балки. При построении эпюры М(z) положительные ординаты откладываются вниз от нулевой линии, отрицательные – вверх.

Рис. 9.8. Правило знаков для изгибающих моментов

и поперечных сил

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результирующая поперечная сила Q_y вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в противном случае  отрицательной (рис. 9.7, б). При построении эпюры Q(z) положительные ординаты откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз.

Из условия равновесия M_x = 0; y = 0 отсеченной части балки (рис. 9.7, г), расположенной левее от сечения z₁ (первый участок), имеем:

M_x (z₁) = R_a z₁; Q_y = R_a.

Для определения M_x и Q_y на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z₂ (рис. 9.7, г), т. е. M_x = 0; y = 0, откуда

M_x (z₂) = R_b (a + b  z₂); Q_y = R_b.

Эпюры M_x и Q_y построены на растянутых волокнах и изображены на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Построение эпюр М_х и Q_у при изгибе