4.6. Пример расчета

Определение перемещений сечений стержня под действием собственного веса (рис. 4.6, а).

Рис. 4.6. а – схема стержня под действием собственного веса;

б – схема отсеченной части, сечение 1–1;

в – схема стержня под действием собственного веса

(равномерно распределенная по длине нагрузка)

Из уравнения равновесия (рис. 4.6, б) имеем:

где γ – удельный вес материала;

А – площадь поперечного сечения.

Пусть А = const, тогда

Если вес всего стержня G = γ  А  l , тогда

Таким образом, удлинение стержня от собственного веса равно его удлинению под действием силы тяжести, приложенной посередине стержня.

Если собственный вес стержня представлен в виде равномерно распределенной по длине нагрузки q (рис. 4.6, в), то имеем:

G = q  l,

где q =  A.

Задача 1. Для стального ступенчатого стержня квадратного поперечного сечения, сжатого силой F с учетом его собственного веса (рис. 4.7, а), требуется:

1) определить количество расчетных участков;

2) составить аналитические выражения для нормальных сил N, нормальных напряжений  и вычислить их значения для каждого из участков стержня;

3) вычислить перемещение нижнего конца стержня от действия силы F и собственного веса;

4) построить эпюры N,  и S.

Исходные данные: F = 20 кН; l₁ = l₂ = l₃ = 0,7 м; модуль упругости стали Е = 2,0  10⁴ кН/cм²; A₁ = 9  10² cм²; A₂ = 16  10² cм²; А₃ = 36  10² см²;  = 78  10^-6 кН/см³ .

Решение.

1. Определение количества участков. При определении нормальных сил N границами участков принимаются те сечения, в которых приложены внешние сосредоточенные силы или происходит изменение площади поперечного сечения либо объемного веса материала ступенчатого стержня.

Учитывая, что const, стержень будет иметь три участка:

1-й участок  от 0 до сечения b–b (где приложена сила F);

2-й участок  от сечения b–b до сечения c–c;

3-й участок  от сечения c–c до сечения d–d.

При определении нормальных напряжений используем те же участки.

2. Аналитические выражения для нормальных сил N, нормальных напряжений . Определение их значений для каждого из участков. Воспользуемся методом сечений.

1-й  участок (0  b–b) 0  z₁  0,7 м.

Проведем сечение 11 на расстоянии z₁ от начала координат (точка 0). Рассмотрим равновесие нижней отсеченной части (рис. 4.7, б).

Составим уравнение равновесия:

Собственный вес (кН) нижней отсеченной части стержня определяется по формуле

Тогда выражение для нормальной силы (кН) будет иметь вид

а для нормальных напряжений (кН/см²):

Рис. 4.7. а – расчетная схема ступенчатого стержня; б – схема отсеченной части, сечение 1–1; в – схема отсеченной части, сечение 2–2; г – схема отсеченной части, сечение 3–3;

д – эпюра нормальных сил; е – эпюра нормальных напряжений; ж – эпюра перемещений характерных сечений

Так как между () и z₁ существует линейная зависимость, то для построения эпюр нормальных сил и напряжений достаточно определить значения этих величин на границах 1-го участка, а именно:

при z₁ = 0 ;

при z₁ = 0,7 м кН;

кН/см².

2-й участок (b–b  c–c) 0,7 м  z₂  1,4 м.

Проведем сечение 22 на расстоянии z₂ от начала координат (рис. 4.7, в). Для нижней отсеченной части составляем уравнение равновесия z = 0, в которое войдут: собственный вес 1-го участка G₁^’ =  A₁ l₁; собственный вес отсеченной части 2-го участка G₂ =   A₂(z₂ – – l₁); сосредоточенная сила F = 20 кН; сила N₂.

Тогда уравнение равновесия примет вид

–G₁^’ – G₂ + F + N₂ = 0,

откуда

N₂ = G₁^’+ G₂ – F = A₁l₁ + A₂(z₂ – l₁) – F = 78  9  10^–4  70 + 78  16 

×10^–4  (z₂ – 70) – 20 = 4,9 + 0,12 (z₂ – 70) – 20 = 0,12 (z₂ – 70) – 15,1, кН.

Так как А₂ = const, то выражение для определения нормального напряжения на 2-м участке имеет вид

кН/см².

Вычислим значения ординат N₂ и ₂ на границах 2-го участка:

при z₂ = 0,7 м кН;

кН/см²;

при z₂ = 1,4 м кН;

кН/см².

3-й участок (c–c  d–d) 1,4 м  z₃  2,1 м.

Составим уравнение равновесия z = 0 (рис. 4.7, г) для нижней отсеченной части стержня:

–G₁^’ – G₂^’ – G₃ + F + N₃ = 0,

откуда

=   A₁ l₁ +  A₂ l₂ +  A₃ (z₃  l₁  l₂) – F = 78  9  10^-4  70 + 78 

×16  10^-4  70 + 78  36  10^–4  (z₃  140)  20 = 0,28  (z₃  140) – 6,4, кН.

Выражение для напряжения:

кН/cм².

Вычислим значения ординат N₃ и ₃ в граничных сечениях 3-го участка:

при z₃ = 1,4 м N₃(1,4) = 0,28  (140 – 140) – 6,4 = –6,4 кН;

₃ (1,4) = [7,7  (140 – 140) – 177,8] 10^–5 = 0,18  10^–2, кН/cм²;

при z₃ = 2,1 м N₃ (2,1) = 0,28  (210 – 140) – 6,4 = 13,2 кН;

₃ (2,1) = [7,7  (210 – 140) – 177,8]  10^-5 = 0,36  10^–2 кН/cм².

3. Вычисление перемещения нижнего сечения стержня а–а от действия силы F и собственного веса. Согласно закону Гука определим абсолютные деформации каждого участка стержня по формуле

где – площадь эпюры на i-ом участке стержня.

Таким образом,

Определим перемещения характерных сечений стержня:

S_d–d = 0 – заделка;

S_c–c = S_d–d + ∆l₃ = 0 + 3,3  10^–6 = 3,3  10^–6 см;

S_b–b = S_c–c + ∆l₂ = (3,3 – 23,8)  10^–6 см = –20,5  10^–6 см;

S_а–а = S_b–b + ∆l₁ = (– 20,5 + 9,5)  10^–6 см = –11  10^–6 см.

4.Построение эпюр N, , S.Так как между N,,S и координатами z существует линейная зависимость, то для построения эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и перемещений достаточно определить значения этих величин в граничных сечениях каждого из участков ступенчатого стержня (рис. 4.7,  д, е, ж).

Необходимыми условиями правильности построения эпюр N,,S являются:

 скачок на эпюре N должен находиться в точке приложения сосредоточенной силы и быть равным по величине значению этой силы;

 скачки на эпюре  должны совпадать с точками приложения внешней нагрузки F и изменения площади поперечного сечения стержня.

Анализ эпюр N,,S (рис. 4.7, д, е, ж) показывает, что они построены правильно.

Задача 2. Проверить прочность и жесткость стержня, изготовленного из стали (рис. 4.8, а).

Исходные данные: А₁ = 2 см²; А₂ = 5 см²; Е = 2  10⁵ МПа; [] = = 160 МПа; [∆l] = 2 мм.

Рис. 4.8. а – расчетная схема стержня, сечения 1–1, 2–2, 3–3;

б – эпюра нормальных сил; в – эпюра нормальных напряжений

Решение.

1. Методом сечений определим значения нормальных сил на участках ступенчатого стержня: N₁ = F₁ = 30 кН (растяжение); N₂ = F₁ = 30 кН (растяжение); N₃ = F₁ + F₂ = 80 кН (сжатие).

2. Определим значения нормальных напряжений на участках стержня по формулам:

_max = | ₃| = 160 МПа = [] = 160 МПа – условие прочности выполняется.

∆l_max = 0,495 мм < [∆l] = 2 мм – условие жесткости выполняется.

Если внешние нагрузки имеют разные знаки, то для определения необходимо сроить эпюру абсолютных деформаций.

Задача 3. Определить предельную глубину, которую можно измерить с помощью стального каната диаметром 10 мм, если удельный вес каната 78  10^–6 кН/см³, а предел прочности _в = 380 МПа.

Решение. Определим критическую длину каната по формуле

_max = _в,

где _max =, отсюда l_кр =