, Откуда ;
из второго уравнения из начальных условий
, Откуда .
Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в уравнения перемещений балки при z = 0, получим:
;
.
В балке постоянного сечения по длине
.
Следовательно, балки равного сопротивления изгибу, обладая такой же прочностью в заделке, как и балка постоянного сечения, имеют в полтора раза больший прогиб. Подобного рода системы используются в технике при изготовлении рессор, которые должны обладать достаточной прочностью и большой гибкостью. Так, например, обыкновенная автомобильная рессора имеет такой же закон изменения жесткости, как рассмотренная выше балка.
9.12. Расчет статически неопределимых балок.
Основная система. Расчетные уравнения.
Теорема о трех моментах. Способ сравнения деформаций
Неразрезными называют балки, лежащие более чем на двух опорах и не имеющие промежуточных шарниров. Они являются статически неопределимыми и рассчитываются с помощью метода сил.
У статически определимой балки должно быть три реакции (для плоской задачи, рис. 9.29).
Рис. 9.29. Схемы статически
определимых балок
С добавлением промежуточных опор балка становится статически неопределимой (рис. 9.30). Степень статической неопределимости определяется по формуле
S = n – 3,
где n – число опорных связей для балки (рис. 9.30).
S = 5 – 3 = 2.
Рис. 9.30. Схема неразрезной балки
Если все опоры являются шарнирными (одна опора обязательно должна быть неподвижной), то степень статической неопределимости определяется по количеству внутренних опор. Опоры нумеруются слева направо, начиная с 0. Номер пролета определяется номером правой опоры.
Рассмотрим многопролетную балку, опирающуюся на m шарнирных опор (рис. 9.31, а). У такой балки возникает m вертикальных реакций, и она является (m – 2) раза статически неопределимой. Для решения задачи выбираем основную систему (О.С.). Для неразрезной балки наиболее рациональной основной системой является основная система с врезанными над внутренними опорами шарнирами (рис. 9.31, б).
Рис. 9.31. Заданная, основная и эквивалентная системы неразрезной балки
При этом неразрезная балка распадается на отдельные однопролетные балки, имеющие по одной общей опоре. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты в опорных сечениях. Действие заданной нагрузки распространяется только на пролет, в котором она приложена. Влияние ее на другие пролеты выражается опорными изгибающими моментами Мi.
Эквивалентной системой (Э.С.) называется ряд простых шарнирно опертых балок, нагруженных заданной нагрузкой и неизвестными изгибающими моментами xi (рис. 9.31, в). Таким образом,
М1 = х1; М2 = х2; …; Мп = хп,
направления моментов приняты положительными.
Составим уравнение совместности деформаций, которое выражает отсутствие взаимного угла поворота сечений над промежуточными опорами (рис. 9.32).
Рис. 9.32. Схема деформаций n
Промежуточного шарнира
Таким
образом,
;
.
Поскольку основная система состоит из отдельных двух опорных балок, то для решения уравнения совместности деформаций требуется рассмотреть только два пролета, примыкающих к n-й опоре, т. е. пролеты (n – 1) и (n + 1).
Таким образом, от полного канонического уравнения по n-му направлению
х0δп0 + х1δп1 + х2δп2 + … + хп-1δп(п-1) + хпδпп + хп+1δп(п+1) + …+ хmδпm +
+ Δпр = 0,
останется
уравнение
хп–1δп(п–1) + хпδпп + хп+1δп(п+1) + Δпр = 0.
Все
остальные коэффициенты вида δij
равны нулю,
так как единичная эпюра
от хп
распространяется только на два прилегающих
пролета (рис. 9.33, а).
Учитывая, что EJ = const, применим способ Верещагина и определим коэффициенты и свободный член полученного уравнения:
;
;
;
.
На грузовой эпюре Мр (рис. 9.33, д):
ω1, ωп+1 – площадь грузовой эпюры;
ап, ап+1 – расстояние от центра тяжести эпюры до левой опоры пролета;
bп,
bп+1
– расстояние от центра тяжести эпюры
до правой опоры пролета.
Рис. 9.33. Схема для решения уравнения совместности деформаций
для n-й опоры неразрезной балки
Подставив найденные коэффициенты и свободный член в уравнение совместности деформаций для n-й опоры и учитывая, что М1 = х1; М2 = х2; …; Мп = хп, получим уравнение трех моментов:
Мп–1ln + 2 Мп(ln + ln+1) + Mn+1ln+1 = –6Rnф,
где
– фиктивная реакция на п-й
опоре.
Уравнения трех моментов составляют, продвигаясь по балке слева направо для пары пролетов. Следующее уравнение составляют, продвигаясь на один пролет вправо. В итоге получается система стольких уравнений, сколько раз неразрезная балка является статически неопределимой.
В каждой системе неизвестными являются опорные моменты над промежуточными опорами. Моменты над крайними опорами всегда известны (равны нулю или создаются внешней нагрузкой, приложенной на консоли).
Решение системы уравнений выполняется методом последовательного исключения неизвестных.
Если в пролете эпюра Мр имеет сложную форму, то она разбивается на простые составляющие, и фиктивная реакция определяется способом Верещагина как алгебраическая сумма составляющих, с учетом знака площади каждой части эпюры.
Если левый или правый конец балки защемлен, то для удобства составления уравнений трех моментов заделку заменяют дополнительным пролетом нулевой длины.
Для определения деформаций балки при изгибе можно использовать способ сравнения деформаций, который рассмотрим на конкретном примере (рис. 9.34, а).
Выполняем решение уравнения совместности деформаций уВ = 0. Прогиб точки B в основной системе, под действием равномерно распределенной нагрузки q и опорной реакции RВ, складывается из двух прогибов: одного, вызванного лишь нагрузкой q, и другого, вызванного опорной реакцией RВ (рис. 9.34, б, в).
Таким образом,
уВ = yq + yRB = 0.
Рис. 9.34. Схема балки для определения перемещений
способом сравнения деформаций
Определим эти прогибы:
;
;
,
отсюда
.
Подставим значение лишней реакции RВ в уравнения статики для заданной системы (рис. 9.34, а), получим:
;
.
Составим общие уравнения моментов и поперечных сил для правой части балки (рис. 9.34, а):
;
.
Определим ординату z, при которой изгибающий момент в правой части балки принимает экстремальное значение:
,
отсюда
.
Таким образом,
.
Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис. 9.34, г, д.