6.6. Пример расчета

Задача 1. Элемент материала нагруженной детали (рис. 6.18) находится в состоянии чистого сдвига под действием касательных напряжений τ = 80 МПа. Проверить прочность детали по третьей теории прочности, если [σ] = 160 МПа.

Рис. 6.18. Схема площадки

нагруженной детали

Решение.

1. Определяем главные напряжения:

σ₁ = τ = 80 МПа;

σ₂ = 0;

σ₃ = –τ = –80 МПа.

2. Определяем эквивалентное напряжение и проверяем прочность:

σ_экв = σ₁ – σ₃ = 80 – (–80) = 160 МПа = [σ].

3. Прочность детали обеспечена.

Задача 2. На гранях стального кубика (рис. 6.19) действуют касательные напряжения, под действием которых одна грань по отношению к другой сместилась на 0,25 мм. Проверить прочность кубика, если [τ] = 80 МПа, Е = 2  10⁵ МПа, μ = 0,3.

Рис. 6.19. Схема стального кубика

Решение.

1. Определяем относительный сдвиг:

.

2. Определяем модуль сдвига:

3. Определяем касательные напряжения и проверяем прочность:

τ = G × γ = 7,7 × 10⁴ × 1,3 × 10^–3 = 100 МПа = [τ].

Вывод: Прочность кубика обеспечена.

Задача 3. Стальной кубик с размерами ребер 100 мм находится в состоянии чистого сдвига. Касательные напряжения, действующие по граням кубика, τ = 120 МПа. Определить абсолютный и относительный сдвиг, а также модуль упругости при сдвиге G и удельную потенциальную энергию деформации, если модуль упругости при растяжении Е = 2  10⁵ МПа, μ = 0,3.

Решение.

1. Модуль сдвига:

2. Относительный сдвиг:

.

3. Абсолютный сдвиг:

∆S = γh = 15,58 × 10^–4 × 0,1 = 1,558 × 10^–4 м.

4. Потенциальная энергия деформации:

.

Задача 4. Модуль упругости при растяжении хромоникелевой стали марки 20ХН Е = 2,15 × 10⁵ МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,28, [σ] = 180 МПа. Определить величину модуля упругости при сдвиге G и допускаемое напряжение на сдвиг для этой стали.

Решение.

1. Модуль сдвига:

МПа.

2. Допускаемое напряжение на сдвиг:

согласно третьей теории прочности:

[τ] = 0,5 [σ] = 0,5 × 180 = 90 МПа;

согласно четвертой теории прочности:

[τ] = 0,6 [σ] = 0,6 × 180 = 108 МПа.

Задача 5. Стальной параллелепипед нагружен силой F = 50 кН, как указано на схеме (рис. 6.20). Определить абсолютный и относительный сдвиг и проверить прочность, если [τ] = 80 МПа и G = 8 × 10⁴ МПа.

Рис. 6.20. Схема стального

Параллелепипеда

Решение.

1. Элемент находится в условиях чистого сдвига. Площадь сдвига:

А = 5 × 2 = 10 см² = 10 × 10^–4 м².

2. Напряжение:

МПа < [τ].

3. Относительный сдвиг:

, γ = 6,25 × 10^–4.

4. Абсолютный сдвиг:

∆S = h × γ = 80 × 6,25 × 10^–4 = 0,05 мм;

∆S = 0,05 мм.

Задача 6. Для заданного напряженного состояния определить модуль сдвига материала (рис. 6.21), если относительный сдвиг площадок чистого сдвига γ = 14,5 × 10^–4.

Рис. 6.21. Схема площадки материала

Решение.

1. σ_х = 100 МПа; σ_у = –100 МПа; τ_ху = 60 МПа.

2. Определяем главные напряжения:

σ₁ = 116 МПа; σ₂ = 0; σ₃ = –116 МПа.

3. Заданное напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг под действием касательных напряжений τ = 116 МПа.

τ = 116 МПа.

τ = γG.

МПа.

МПа.