10.7. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9. Для заданной схемы нагружения вала (рис. 10.14) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.14. Схема вала для построения эпюры крутящих моментов
Задача 10. Для заданного ступенчатого вала (рис. 10.15) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.15. Схема ступенчатого вала для построения эпюры
крутящих моментов
Задача 11. К валу постоянного сечения диаметром d = 50 мм (рис. 10.16) приложены моменты m1 = 1 кНм, m2 = 0,2 кНм, m3 = 0,4 кНм и m4 = 0,4 кНм. Проверить прочность вала, если [τ] = 60 МПа. Определить полный угол закручивания, если G = 8 × 104 МПа.
Рис. 10.16. Схема вала постоянного сечения
Ответ:
Задача 12. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 5 мм, растягивается силами F = 400 Н. Диаметр пружины D = 30 мм. Проверить прочность пружины, если [τ] = 500 МПа. Определить число витков пружины, при котором она удлиняется на 40 мм. G = 8 × 104 МПа.
Ответ:
Задача 13. Определить требуемый диаметр проволоки винтовой цилиндрической пружины для осевой нагрузки F = 1,2 кН, если D/d = 6 и [τ] = 500 МПа.
Ответ:
Задача 14. Для заданной схемы нагружения (рис. 10.17) определить диаметры проволоки для обеих пружин, если D1/d1 = D2/d2 = 8 и [τ] = = 600 МПа.
Рис. 10.17. Схема бруса, подвешенного на двух пружинах
Ответ:
10.8. Контрольные вопросы
1. Какой вид нагружения называется кручением?
2. Что называется валом? Что такое крутящий момент?
3. Какие деформации возникают при кручении?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?
5. Вывести формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала.
6. Вывести формулы для определения относительного и полного углов закручивания круглого вала.
7. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?
8. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?
9. Написать формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?
10. В чем заключается расчет на прочность при кручении?
11. В чем заключается расчет на жесткость при кручении?
12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал кольцевого поперечного сечения легче, чем вал сплошного круглого сечения?
13. Как вычислить потенциальную энергию деформации, накапливаемую валом при кручении?
14. Расчет статически неопределимых валов.
15. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витков. Что такое осадка и жесткость пружины, как они определяются?
11. Сложное сопротивление
11.1. Особенности расчета брусьев при сложном сопротивлении
Элементы конструкций и сооружений кроме простых деформаций (растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг и кручение) могут испытывать более сложные деформации, такие как пространственный изгиб, косой изгиб, внецентренное растяжение (сжатие), изгиб с кручением и др. Такое сопротивление элементов конструкций называется сложным сопротивлением.
В расчетах жестких брусьев (стержней) на сложное сопротивление используется принцип независимости действия сил, который применим в случаях, когда деформации малы и подчиняются закону Гука.
Рассмотрим расчет прямых брусьев при сложном сопротивлении на примере пространственного изгиба. Такой вид деформации можно представить как изгиб в двух плоскостях, проходящих через ось бруса (рис. 11.1, а). При этом изогнутая ось бруса является пространственной кривой.
Для этого все внешние нагрузки следует разложить на составляющие, лежащие в главных плоскостях xOz и yOz, где оси у и x – главные оси инерции сечения (рис. 11.1, б).
В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx, My и поперечные силы Qx, Qy. Действием поперечных сил пренебрегаем и учитываем только изгибающие моменты.
Напряжения в любой точке поперечного сечения бруса определяются по формуле
Знаки напряжений определяются знаками изгибающих моментов и координат точек сечения. Так как между напряжениями и координатами точек сечения существует линейная зависимость, то прямая, проходящая через начало координат, является геометрическим местом точек, в которых нормальные напряжения по сечению бруса равны нулю. Эта прямая называется нейтральной осью (рис. 11.2).
Рис. 11.1. Схема бруса, испытывающего пространственный изгиб
Уравнение
нейтральной оси находим из уравнения
для определения напряжений в поперечном
сечении бруса, приравняв
нулю.
Обозначив координаты точек нейтральной
оси через уо
и
хо,
получим:
Согласно последней зависимости, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Положение нейтральной оси характеризуется ее углом наклона к оси х.
Рис. 11.2. Схема распределения нормальных напряжений
по сечению бруса при пространственном изгибе
Угол наклона нейтральной оси изменяется от сечения к сечению бруса в зависимости от изгибающих моментов Мх и Му.
Для подбора размеров поперечного сечения бруса следует определить опасное сечение, в котором Mх и Му одновременно достигают большого значения. Таких сечений может быть несколько. Затем в опасном сечении необходимо найти опасные точки – это наиболее удаленные от нейтральной оси точки (точки А и С на рис. 11.2), где у и х достигают максимального по абсолютной величине значения. Таким образом:
где
моменты сопротивления сечения относительно
соответствующих осей.
Для сечений, симметричных относительно обеих главных осей, напряжения в крайних точках сечения определяется по формуле
Условие прочности при пространственном изгибе:
