5.11. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Определить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Схема составного сечения

Ответ: J_min = 3965 см⁴; J_max = 23827 см⁴.

Задача 5. Определить главные центральные моменты инерции сечений (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Схемы составных сечений

Ответ: J_min = 11232 см⁴; J_max = 20304 см⁴.

Задача 6. Вычислить центробежный момент инерции неравнобокого уголка 100 × 63 × 8 относительно центральных осей, параллельных полкам (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Схема неравнобокого уголка

Ответ: J_xy = –40,5 см⁴.

5.12. Контрольные вопросы

1. Что называется статическим моментом площади сечения относительно оси, в каких единицах он выражается?

2. Что такое осевой, центробежный и полярный моменты инерции? В каких единицах выражаются моменты инерции сечения?

3. Чему равен статический момент площади относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?

4. Как определяются координаты центра тяжести простых (квадрат, прямоугольник, круг) и сложных сечений?

5. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?

6. Как изменяются осевые моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей?

7. Какие оси называются главными осями инерции?

8. Какие оси называются главными центральными осями инерции?

9. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?

10. В каких случаях можно без вычисления установить положение главных осей?

11. Как определить положение главных центральных осей инерции?

12. Сколько в сечении можно провести центральных и главных центральных осей инерции?

6. Сдвиг

6.1. Основные понятия о деформации сдвига. Абсолютный и относительный сдвиг

Если на брус действуют две равные и противоположно направленные силы, перпендикулярные оси бруса и расположенные на очень малом расстоянии друг от друга, то происходит срез.

Деформация, предшествующая срезу, которая заключается в искажении прямых углов на участке приложения противоположно направленной и равной по величине нагрузки, называется сдвигом (рис. 6.1, б).

Рис. 6.1. Схема бруса при деформации сдвигом

В результате сдвига одно поперечное сечение бруса сдвигается относительно другого на величину ∆S (рис. 6.1, б), которая называется абсолютной величиной сдвига. Она имеет размерность длины.

Отношение абсолютной величины сдвига к расстоянию между приложенными силами называется относительной деформацией сдвига, или углом сдвига, т. е.:

.

Так как при малых деформациях tg γ ≈ γ, то

,

где γ – относительный сдвиг, или угол сдвига.

Угол сдвига показывает искажение прямых углов, прямоугольник abcd превращается в параллелограмм abc′d′, выражается в радианах.

6.2. Внутренние усилия при деформации сдвига. Напряжения при сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига

В сечении бруса между внешними силами F действует только поперечная сила Q, которая является равнодействующей касательных напряжений (рис. 6.2, б).

Рис. 6.2. Схема бруса для определения внутренних сил

и усилий при сдвиге

Так как расстояние между силами h очень мало, то действием изгибающего момента в сечении можно пренебречь.

Для определения напряжений при сдвиге применим метод сечений. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части бруса. Воспользуемся интегральной зависимостью:

.

Закон распределения касательных напряжений неизвестен. Если предположить, что они распределяются по сечению равномерно, то τ можно вынести за знак интеграла, тогда:

,

следовательно,

.

На самом деле, касательные напряжения при сдвиге распределяются по сечению неравномерно, но для практических расчетов можно пользоваться вышеприведенной формулой.

Касательные напряжения в пределах упругих деформаций прямо пропорциональны относительной деформации сдвига, т. е.

Τ = Gγ.

Эта зависимость представляет закон Гука при сдвиге. Величина G характеризует способность материала сопротивляться сдвигу и называется модулем упругости второго рода, или модулем сдвига. Модуль сдвига G имеет размерность напряжения (т. е. МПа). Величина модуля упругости второго рода определяется экспериментально и для каждого материала имеет свое значение.

Вид диаграммы τ – γ при сдвиге для пластичной стали показан на рис. 6.3. Она напоминает аналогичную диаграмму σ – ε при растяжении.

Рис. 6.3. Диаграмма напряженного состояния при сдвиге

Напряжение τ_пц (предел пропорциональности при сдвиге) является границей, до которой выполняется закон Гука.

Учитывая, что

и ,

находим абсолютную величину сдвига:

,

откуда

.

Полученная формула аналогична зависимости для определения абсолютной деформации при растяжении:

,

где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).