6.4. Расчет на прочность при сдвиге. Потенциальная энергия деформации при сдвиге

Условие прочности при сдвиге имеет вид

.

Так как материал бруса при сдвиге находится в сложном напряженном состоянии, то для оценки его прочности необходимо использовать теории прочности.

Для хрупких материалов применяют первую и вторую теории прочности. При чистом сдвиге

σ₁ = τ, σ₂ = 0, σ₃ = –τ.

Согласно первой теории прочности получаем условие

σ₁ = τ ≤ [σ],

т. е. касательное напряжение при сдвиге должно быть не больше допускаемого напряжения на растяжение.

По второй теории прочности будем иметь:

σ₁ – μσ₃ = (τ + μτ) ≤ [σ].

Если для стали принять µ = 0,3, то допускаемое касательное напряжение должно быть следующим:

τ ≤ 0,7 [σ].

Для пластичных материалов обычно используют третью и четвертую теории прочности. Согласно третьей теории прочности:

σ₁ – σ₃ = (τ – (–τ) ≤ [σ], т. е. [τ] = 0,5 [σ].

Наконец, по четвертой теории прочности:

.

Следовательно,

.

В практике обычно принимают для хрупких материалов

;

для пластичных:

.

Условие прочности при сдвиге имеет такой же вид, как и условие прочности на растяжение (сжатие). Оно позволяет выполнять три вида расчета на прочность при сдвиге: проектировочный, проверочный и определение максимальной допускаемой нагрузки.

6.5. Практические примеры деформации сдвига – расчет заклепочных и болтовых соединений на срез и смятие.

Расчет сварных соединений

С теоретической точки зрения эти расчеты являются несовершенными, так как основываются на ряде упрощающих расчет допущений.

Расчет заклепочных и болтовых соединений. К числу таких допущений при расчете заклепочных соединений относится предположение, что в сечении, по которому может произойти разрушение от сдвига, касательные напряжения распределены равномерно. Предполагается также, что все заклепки (рис. 6.8) работают в одинаковых условиях и передаваемое усилие распределяется между заклепками равномерно, что при работе в упругой стадии материала практически невозможно.

Однако многолетняя служба различных сооружений показывает, что подобный расчет, несмотря на свой условный характер, вполне обеспечивает прочность конструкций.

Рис. 6.8. Схема заклепочного соединения

Заклепки для соединения элементов металлических конструкций начали применять в 20-е годы прошлого столетия. Так как заклепки изготавливаются из пластичных материалов, то разрушению предшествуют значительные деформации, что повышает надежность соединения.

В настоящее время заклепки применяются в основном в тяжелых конструкциях или при достаточно резких динамических нагрузках, которые испытывают соединяемые элементы конструкций.

Отверстия для заклепок в соединяемых деталях просверливаются, а в менее ответственных продавливаются.

Диаметр отверстия в деталях делается на 0,5–1,0 мм больше диаметра заклепки. Заклепка, имеющая с одной стороны головку, разогревается до определенной температуры (светло-красное каление) и вставляется в заготовленное отверстие. В некоторых соединениях используют холодные заклепки. Из выступающего конца стержня формируется вторая головка при помощи пневматического молотка или специальной клепальной машины. При этом стержень расширяется, плотно заполняет отверстие и при остывании сильно стягивает соединяемые детали. Таким образом, расчетным диаметром заклепки является диаметр заготовленного отверстия. Силы трения, возникающие на поверхности соединения элементов конструкций (листов), плотно сжатых заклепками, при расчете не учитываются, и принимается, что их взаимному скольжению препятствует только сопротивление заклепок срезу.

Заклепки в соединении внахлестку, изображенном на рис. 6.8, испытывают напряжения среза по одному поперечному сечению и называются односрезными заклепками. Разрушение от среза может произойти по сечениям т–п (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Схема заклепки,

работающей на срез

Площадь среза одной заклепки определяется по формуле

.

Если число заклепок в соединении равно n, то

.

Соединение внахлестку имеет недостаток в том, что листы располагаются не в одной плоскости, вследствие чего силы F образуют пару сил, вызывающих изгиб листов и перекашивание соединения. Более рационально соединение листов впритык с накладками (рис. 6.10). В таком соединении каждая заклепка испытывает напряжения среза по двум плоскостям. Такие заклепки называется двухсрезными заклепками.

Рис. 6.10. Схема соединения листов впритык с помощью накладок

Встречаются конструкции, в которых склепываются целые пакеты листов (рис. 6.11). В таких случаях заклепки являются многосрезными.

Рис. 6.11. Схема многосрезных заклепок при соединении пакета листов

Если число плоскостей среза обозначить через m, то площадь среза соединения определяется по формуле

,

где n – число заклепок, расположенных по одну сторону стыка.

Условие прочности соединения на срез имеет вид

.

Данное условие позволяет выполнять три вида расчетов на прочность – проверочный, проектировочный и определение максимально допустимой нагрузки на соединение.

Проектировочный расчет обычно заключается в определении диаметра d заклепок, если их количество п задано конструктивно. Таким образом:

.

Если конструктивно назначается диаметр заклепок d, то определяют их общее количество по формуле

.

Количество срезов заклепки m определяется конструкцией соединения.

Деформация сдвига часто сопровождается смятием.

Смятием называется местная деформация сжатия, когда действие сжимающей силы передается на сравнительно небольшом участке. Если, например, соединить два деревянных бруса болтом, то при навинчивании гайки поверхность дерева под гайкой и головкой болта будет сжиматься, вдавливаясь внутрь древесины. В этих местах появится местное смятие, напряжение от которого быстро уменьшается по мере удаления от очага деформации. Для того чтобы уменьшить напряжение смятия дерева, увеличивают опорную поверхность в месте смятия, подкладывая под гайку и головку болта металлические шайбы, имеющие большую опорную поверхность с деревом.

В заклепочных и болтовых соединениях напряжения смятия распределяются неравномерно по полуцилиндрической поверхности отверстия листа и заклепки и имеют наибольшую величину в точке К (рис. 6.12, а).

Для упрощения расчетов условно принимают, что смятие происходит по площади тпрr.

А_см = td,

где d – диаметр заклепочного отверстия;

t – толщина листа.

Если заклепка соединяет два листа неодинаковой толщины, то в формулу следует подставить меньшую из них.

Для двухсрезных заклепок условной площадью смятия является:

А_см = td, или А_см = 2t₁d.

В расчете принимают меньшую из этих двух величин.

Рис. 6.12. Схема для расчета заклепки на смятие

Аналогично определяется площадь смятия и для многосрезных соединений. Так как предполагается, что напряжения смятия по условной площади распределяются равномерно, то условие прочности соединения на смятие принимает вид

,

где n – число заклепок;

[σ_см] – допускаемое напряжение на смятие, для стали оно принимается [σ_см] = (2 – 2,5)[σ_см].

Расчет болтовых и заклепочных соединений на смятие проводится как проверочный.

Расчет сварных соединений. При изготовлении металлических конструкций часто применяется сварка с помощью электрической дуги, открытой русским ученым, профессором В. В. Петровым в 1802 году.

В настоящее время сварочное оборудование и технология сварки усовершенствованы и получили широкое распространение во всем мире. Немалая заслуга в развитии сварочного производства принадлежит академику Е. О. Патону.

Соединение элементов при помощи электросварки наиболее прогрессивно. Сварные соединения менее трудоемки, чем заклепочные, они не ослабляют сечений соединяемых элементов, упрощают конструкцию и по надежности не уступают заклепочным соединениям.

Наиболее простым типом сварного соединения является соединение встык, при котором зазор между двумя соединяемыми элементами заполняется наплавленным металлом. В зависимости от толщины соединяемых элементов зазорам между ними придают V-образную или X-образную форму. При малой толщине листов их кромки перед сваркой не обрабатываются (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Схемы сварки элементов конструкций встык

Проверка сварного соединения на растяжение или сжатие производится из условия прочности

,

где [σ_τ] – допускаемое напряжение при электросварке, зависит от вида сварки (ручная или автоматическая) и типа электродов (с тонкой или толстой обмазкой);

l – расчетная длина шва;

δ – толщина свариваемых элементов.

Сварное соединение элементов встык с косым швом (рис. 6.14), как показывают экспериментальные исследования, является равнопрочным целому сечению.

Рис. 6.14. Схемы сварки элементов конструкций встык косым швом

Другими типами соединения листов являются соединения внах-лестку, с накладными, в тавр и др., выполняемые при помощи валко-вых или угловых швов.

Угловой шов, параллельный направлению усилия, называется фланговым. Швы, перпендикулярные к действующему усилию, назы-ваются лобовыми, швы, идущие под углом к направлению силы, – косыми.

Расчет на прочность угловых швов производится условно на срез по сечению, расположенному в биссектронной плоскости прямого угла (рис. 6.15).

Площадь среза сварного шва (рис. 6.16) определим по формуле

А_ср = δcos45^о l = 0,7δl.

При расчете сварных швов на прочность предполагают, что касательные напряжения по плоскости среза распределяются равномерно. Из условия прочности можно определить расчетную длину сварного шва:

.

В некоторых элементах металлических конструкций растягивающая сила не проходит посредине привариваемой полки. Например, в уголке растягивающая сила проходит через центр тяжести сечения (рис. 6.17).

Рис. 6.15. Схемы сварки элементов конструкций внахлестку,

с накладками, тавром валковыми и угловыми швами

Рис. 6.16. Схема для расчета

площади среза сварного шва

Рис. 6.17. Схема для расчета длины швов

при приложении растягивающей силы

в центре тяжести привариваемого элемента

Усилия, приходящиеся на каждый шов, обратно пропорциональны расстояниям h₁ и h₂. Чтобы обеспечить одинаковые условия работы обоих швов, длина их должна быть разной и определяться из условия

.

При одинаковой толщине шва условие прочности имеет вид:

.

Из последних двух уравнений находится расчетная длина каждого шва.