4.7.1. Определение монтажных напряжений, вызванных технологическими неточностями

В статически неопределимых системах возможно возникновение напряжений при сборке из-за неточности изготовления деталей. Такие напряжения называются начальными или монтажными и обозначаются .

В некоторых случаях эти напряжения создаются специально для того, чтобы повысить прочностные характеристики детали из материала, по-разному работающего на растяжение. При этом условие прочности можно записать в виде

𝜎_пол = 𝜎_нач + 𝜎_р ≤ [𝜎].

Если начальное 𝜎_нач и рабочее 𝜎_р напряжения имеют разные знаки, то 𝜎_р можно увеличить при одном и том же значении [𝜎].

Например, в строительстве применяется армированный, предварительно напряженный бетон. Стальная арматура растягивается с определенным усилием и в таком состоянии заливается бетоном. После затвердевания бетона арматура разгружается, и в бетоне возникают напряжения сжатия. При этом несущая способность железобетонных конструкций, работающих на растяжение, увеличивается до 30 %.

Начальные напряжения в стержневых системах при монтаже зависят от жесткости стержней и величины неточностей при их изготовлении.

Задача 6. При монтаже стержневой системы стержень 3 оказался короче требуемой длины на величину ∆=1,5 мм (рис. 4.14, а). Определить значения нормальных напряжений в стержнях после монтажа, если: А₁ = А₂ = А₃ = 2 см²; Е₁ = Е₂ = Е₃ =; l₃ = 2 м; α = 30º.

Рис. 4.14. а – схема монтажа стержневой системы;

б – расчетная схема для определения

нормальных усилий в элементах стержневой системы

Решение.

1. Согласно схеме (рис. 4.14, б) . Составим уравнение равновесия относительно оси z: .

2. При монтаже стержневой системы – удлинение стержня 3 (рис. 4.13, б), – укорочение стержней 1 и 2. , с другой стороны,. Таким образом . Согласно закону Гука ; .

Тогда .

Решая систему уравнений

;

,

находим

4. Определим нормальные напряжения в стержнях после монтажа:

4.7.2. Определение температурных напряжений

В статически неопределимых системах при изменении температуры возникают температурные напряжения (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Расчетная схема стержня при температурном воздействии

1. Составим уравнение равновесия: , _·

2. Отбросим правую заделку, составим уравнение совместности деформаций:

·

отсюда по абсолютной величине

,

где ;

– коэффициент линейного температурного расширения.

3. Согласно закону Гука имеем:

.

Таким образом,

,

где А – площадь поперечного сечения стержня.

4. Определим температурные напряжения:

.

Полученная формула справедлива лишь для определения напряжений в стержнях постоянного сечения с жесткой заделкой обоих концов.

Из этой формулы следует, что в статически неопределимых системах изменение температуры вызывает дополнительные напряжения. Они будут сжимающими при повышении температуры и растягивающими при понижении температуры. В статически определимых системах температурные напряжения не возникают. Для снятия температурных напряжений в практике широко применяются температурные швы и зазоры.

Задача 7. Стержень АВ состоит из двух соединенных между собой частей. Верхняя часть АС (рис. 4.16) – медная, имеет площадь поперечного сечения А_м = 25 см², а нижняя СВ – стальная, имеет площадь поперечного сечения А_ст = 12,5 см². Между нижним концом стержня В и неподатливой опорой оставлен зазор Δ = 0,2 мм. Найти напряжения в обеих частях стержня при повышении температуры на Δt = 60 ^○С и проверить его прочность, если [σ]_м = 40 МПа, [σ]_ст = 160 МПа.

Рис. 4.16. а – схема составного стержня;

б – отсеченная нижняя часть стержня

Решение.

Определяем температурное удлинение составного стержня (рис. 4.16, а):

Так как Δ = 0,2 мм, то зазор между нижним концом стержня В и неподатливой опорой будет перекрыт и в опорах возникнут реакции.

2. Составим уравнение равновесия (рис. 4.16, а):

3. Составим уравнение совместности деформаций (рис. 4.16, а, б):

.

Отсюда

.

4. Согласно закону Гука определим для составного стержня:

см,

отсюда

5. Определим значения нормальных напряжений в сечениях составного стержня:

; .

_6. ;< < 

Прочность составного стержня не обеспечивается.

Задача 8. Определить напряжения в стержнях жесткой невесомой балки (рис. 4.17, а) от температурного воздействия ∆t = 50 ºC на стержень 1.

Исходные данные: A₁ = 6 см², А₂ = 10 см², E₁ = E₂ = 210⁴, l₁ = = 1,2 м, l₂ = 1,5 м, а = 1 м, .

Рис. 4.17. а – схема балки, подвергаемой температурному воздействию; б – расчетная схема для определения температурных напряжений в стержнях 1 и 2

Решение.

1. Определим деформацию стержня 1 от температурного воздействия:

.

2. Деформацию стержня 2 определим из выражения

, откуда см.

3. Определим нормальные усилия, возникающие в стержнях 1 и 2:

кН;

кН.

4. Определим напряжения, возникающие в стержнях 1 и 2:

; .