6.3. Связь между модулями упругости e и g для изотропного тела

Установим зависимость между G и Е. Для этого на участке балки между приложенными внешними силами выделим элемент и рассмотрим его равновесие в процессе деформации (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Схема элементарного

параллелепипеда

На боковых вертикальных и горизонтальных гранях параллелепипеда действуют касательные напряжения. На гранях, параллельных плоскости чертежа, напряжения отсутствуют.

Деформация, при которой на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

При чистом сдвиге материал находится в плоском напряженном состоянии. При этом

.

Определим главные напряжения при чистом сдвиге и положения главных площадок.

Величины главных напряжений определяются по формулам:

;

σ₂ = 0;

.

Учитывая данные зависимости, получаем:

σ₁ = τ;

σ₂ = 0;

σ₃ = –τ.

Положение главных площадок определяется углом α:

.

Таким образом, при чистом сдвиге главные площадки наклонены к граням выделенного элемента под углом 45° (рис. 6.5, а).

Графическое определение направления главных напряжений σ₁ и σ₃ может быть получено с помощью круга Мора (рис. 6.5, б).

При деформации сдвигом прямые углы выделенного элемента бруса искажаются. При этом изменяются длины диагоналей.

Найдем удлинение диагонали квадратного элемента (рис. 6.6).

С одной стороны его можно объяснить деформацией сдвига. С другой – диагональ ВD можно представить как волокно материала, растягиваемое напряжением σ₁, и сжимаемое в поперечном направлении напряжением σ₃. Сказанное позволяет сделать вывод о том, что модули упругости G и Е не являются независимыми друг от друга величинами. Определим абсолютное удлинение диагонали ВD в процессе деформации:

.

Относительное удлинение диагонали ВD:

.

Рис. 6.5. Схема для определения положения главных площадок

при чистом сдвиге

По закону Гука для чистого сдвига

.

Воспользуемся обобщенным законом Гука. Главное напряжение σ₁ действует в направлении диагонали BD₁. Таким образом, полученное значение есть удлинение:

.

Приравняв правые части выражений для определения, получим:

,

или

.

Рис. 6.6. Схема для определения связи между E и G

Данная формула устанавливает зависимость между тремя постоянными материала, характеризующими его упругие свойства, – модулями упругости первого и второго рода и коэффициентом Пуассона.

Например, для стали при Е = 2 × 10⁵ МПа и коэффициенте Пуассона μ = 0,25 находим

МПа.

Чистый сдвиг имеет место в пластинках, нагруженных растягивающими нормальными напряжениями в одном направлении и сжимающими напряжениями в другом (рис. 6.7, а). По площадкам, расположенным под углом α = 45^о, действуют только касательные напряжения.

Приложение равномерно распределенных напряжений, как показано на рис. 6.7, а, трудно осуществить, поэтому состояние чистого сдвига обычно получают путем кручения цилиндрической трубы (рис. 6.7, б).

Вследствие малого поворота одного конца трубы относительно другого, элемент abсd, образованный двумя образующими и двумя смежными круговыми поперечными сечениями, подвергается чистому сдвигу.

Рис. 6.7. Схема пластины и цилиндрической трубы,

которые подвергаются чистому сдвигу