5.9. Моменты сопротивления сечений
Моментом сопротивления сечения называется геометрическая характеристика, величина которой определяется по формулам:
,
,
– осевые и полярный моменты сопротивления
сечения соответственно,
где уmax, xmax, max – расстояние от наиболее удаленной точки сечения до соответствующей оси.
Определим моменты сопротивления простых сечений относительно центральных осей.
1. Прямоугольник:
,
2. Момент сопротивления треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию (см. рис. 5.6):
3. Круг:
,
5.10. Пример расчета
Задача 1. Определить главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции сечения (рис. 5.10).
Рис. 5.10. Схема составного сечения
Решение.
где А1 = 2×6 = 12 см2 – площадь прямоугольника;
А2
=
×
6 × 6 = 18 см2
– площадь треугольника;
хс1 = ус1 = 0, хс2 = 3 см, ус2 = –1 см – расстояние от центра тяжести прямоугольника и треугольника до осей ус1 и хс1 соответственно.
1. Определяем моменты инерции составного сечения относительно центральных осей Хс и Ус:
где
Jxcy
c
= 0 –
центробежный момент инерции прямоугольника
относи-
тельно собственных осей;
Jx2y2
=
– центробежный
момент инерции прямоугольного
треугольника относительно собственных осей;
a1 = 0,6 см, b1 = –1,8 см, а2 = –0,4 см, b2 = 1,2 см – расстояния от собственных осей прямоугольника и треугольника до осей Хс и Ус соответственно.
2. Определяем главные центральные моменты инерции составного сечения:
откуда
Jmax = Ju = 92 + 41,6 = 133,6 см4;
Jmin = J = 92 – 41,6 = 50,4 см4.
3. Определяем положение главных центральных осей:
;
= –36;
;
u
= 54.
Задача 2. Определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.11.
Рис. 5.11. Схема составного сечения
Решение. 1. Определяем положение центра тяжести составного сечения относительно осей Х1 и У1:
;
2. Определяем моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:
Задача 3. Для составного сечения из швеллера № 14 и равнобокого уголка № 5 (рис. 5.12) требуется:
1) определить положение центра тяжести;
2) найти величину осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей;
3) определить направление главных центральных осей;
4) найти величину моментов инерции относительно главных центральных осей.
Рис. 5.12. Схема составного сечения
из прокатных профилей
Решение. Из сортаментов значений размеров и геометрических характеристик сечений (прил. 1–4):
для двутавра № 14: h1 = 140 мм; b1 = 73 мм; d1 = 4,9 мм; A1 = = 17,4 см2; Jx = 572 см4; Sx = 46,8 см3; Jy = 41,9 см4;
для уголка № 5: b2 = 50 мм; d2 = 3 мм; A2 = 2,6 см2; Jx = 7,11 см4; Jmax = 11,3 см4; Jmin = 2,95 см4; x c = ус = 1,33 см.
1. Определяем положения центра тяжести составного сечения относительно центральных осей Х1 и У1 двутавра.
Относительно них статические моменты двутавра равны нулю, поэтому:
2. Находим величину осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей:
где аi – расстояние между осями Хс и Хi;
bi – расстояние между осями Уc и Уi.
Для двутавра:
Для уголка:
Находим осевые моменты относительно оси Xc:
для двутавра:
для уголка:
для всего сечения:
Осевые моменты инерции относительно оси Уc:
для двутавра:
для уголка:
для всего сечения:
Определяем центробежный момент инерции относительно осей Xc, Yc:
для двутавра:
для уголка:
для всего сечения:
3. Определяем направление главных центральных осей:
Положительному углу соответствует поворот по часовой стрелке, поэтому оси UV следует повернуть против часовой стрелки на угол 12,33 относительно осей Xc и Yc.
4. Находим величину моментов инерции относительно главных центральных осей:
