8.2. Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

Согласно первой теории, наиболее существенное влияние на прочность и наступление предельного состояния оказывает величина наибольшего главного напряжения. В соответствии с этой гипотезой предельное состояние и разрушение материала не происходит, если выполняются условия прочности:

где и допускаемые напряжения на растяжение и сжатие материала при одноосном напряженном состоянии.

Главный недостаток этой теории состоит в том, что в ней не учитываются два других главных напряжения. Опыты показывают, что она дает удовлетворительные результаты только пpи разрушении материала путем отрыва одной его части от другой и весьма хрупких материалов, таких как камень, кирпич, бетон, керамика, чугун, инструментальная сталь и др. В настоящее время эта теория применяется очень редко.

8.3. Критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)

Причиной наступления предельного состояния и разрушения в соответствии со второй теорией прочности являются наибольшие удлинения. Для объемного напряженного состояния условия прочности запишутся в следующем виде:

где величина наибольшей линейной деформации для исследуемого напряженного состояния;

[] – допускаемое значение линейной деформации, полученное из опытов при одноосном растяжении.

Выразим условие прочности через напряжения. Для этого используем закон Гука:

В результате получим:

.

Следует иметь в виду, что это условие применимо лишь в тех случаях, когда и неприменимо, когда материал не следует закону Гука или находится за пределами пропорциональности.

Как и первая, вторая теория прочности находится в согласии с опытами только для хрупких материалов, но имеет то преимущество, что учитывает все три главных напряжения.

8.4. Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

Причиной наступления предельного состояния и разрушения по третьей теории прочности принимаются наибольшие касательные напряжения. Условие прочности имеет вид:

где расчетная величина наибольшего касательного напряжения для рассматриваемого напряженного состояния;

допускаемая величина касательного напряжения на простое растяжение, полученная из опыта.

В случае объемного напряженного состояния наибольшее касательное напряжение определяется формулой

Допускаемое касательное напряжение определяется равенством

Тогда условие прочности можно представить в виде

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Недостатком ее является то, что не учитывается главное напряжение, которое также оказывает некоторое влияние на прочность.

Критерий наибольших касательных напряжений рассматривается так же, как условие пластичности.

8.5. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности)

При построении этой теории первоначально была предложена гипотеза, согласно которой причиной наступления предельного состояния и разрушения считалась полная удельная потенциальная энергия, достигающая предельного значения. Условие прочности представляется в виде

где u – полная удельная энергия деформации, которая для объемного напряженного состояния имеет вид

[u] – простое предельное значение энергии, определяемое из опытов на напряжение.

Формула для вычисления [u] получается, если в предыдущем выражении положить т. е.

Тогда условие прочности запишется в виде

Однако эта гипотеза не прошла экспериментальную проверку и не нашла применения на практике, так как полученные на ее основе результаты не согласуются с экспериментом.

Поэтому была предложена новая теория, которая основана на гипотезе, согласно которой причиной наступления предельного состояния и разрушения считается часть удельной потенциальной энергии деформации, которая накапливается вследствие изменения формы элемента.

Поводом для этой гипотезы послужил тот экспериментальный факт, что при всестороннем сжатии разрушение практически не наступает. Таким образом, энергия, соответствующая изменению объема при всестороннем сжатии, не может служить критерием прочности.

Новая энергетическая теория связывается только с энергией формоизменения. Критерий прочности согласно этой теории представляется в виде

где удельная энергия формоизменения для рассматриваемого напряженного состояния;

допускаемая энергия формоизменения, полученная из опытов на простое растяжение.

Для вычисления удельной энергии формоизменения используем соотношение

где удельная энергия, затрачиваемая на изменение объема.

Представим заданное напряженное состояние (рис. 8.1, а), определяемое главными напряжениями в виде суммы двух напряженных состояний (рис. 8.1, б, в).

Рис. 8.1. Структурная схема объемного напряженного состояния

Первое соответствует гидростатическому растяжению (сжатию), когда по всем граням кубика действуют одинаковые напряжения:

Второе напряженное состояние характеризуется напряжениями

Изменение объема кубика от действия этих напряжений равно нулю. Действительно, подставляя их значение в формулу для объемной деформации, получим:

Тогда удельная энергия формоизменения определяется как разность между u и . После несложных преобразований получим:

Для случая простого растяжения получим:

.

Учитывая последнее равенство, согласно четвертой теории прочности:

Четвертая теория прочности хорошо подтверждается экспериментально для пластических материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.