11.9. Определение положения опасного сечения и диаметра вала с использованием третьей и четвертой теорий прочности

По эпюрам М_кр и М_и находим опасное сечение и определяем максимальный расчетный момент.

Опасным сечением вала следует считать то, где суммарный изгибающий и крутящий моменты одновременно имеют большое значение.

В тех случаях, когда М_кр и М_и имеют большое значение в разных сечениях, необходимо в каждом из сечений подсчитать величину расчетного момента и принять для дальнейшего расчета наибольшее из полученных значений.

Материал вала находится в условиях плоского напряженного состояния, которое создается нормальными напряжениями изгиба и касательными напряжениями кручения. Поэтому величину расчетного момента определяем по одной из принятых теорий прочности. Значения расчетных моментов для стальных валов определяем по следующим формулам:

по третьей теории прочности

по четвертой теории прочности

Расчетный момент для вала из хрупкого материала (дерево, чугун): по второй теории прочности

где М_и и М_кр – суммарный изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении вала соответственно.

Если известны величина расчетного момента М_р (кНсм) и допускаемое напряжение [σ] (кН/см²), то из условия прочности можно найти диаметр вала по формуле

см³.

Таким образом, необходимый диаметр вала рассчитывается по формуле

Полученный диаметр вала следует округлить до ближайшего стандартного значения линейного ряда размеров.

размеры кольцевого сечения вала определяются из условия прочности аналогичным образом:

где – отношение внутреннего диаметра вала к наружному.

С учетом последнего выражения определим диаметр вала по формуле

11.10. Пример расчета

Задача 1. Стальная балка прямоугольного поперечного сечения нагружена, как указано на схеме (рис. 11.14). Допускаемые напряжения [σ] = 160 МПа. Проверить прочность балки в двух сечениях: при α = 20˚ и при α = 0. Сравнить результаты расчета.

Рис. 11.14. Схема защемленной балки при косом изгибе

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечения балки:

2. Определим проекции силы F на координатные оси:

случай нагружения α = 20˚:

3. Определим максимальное нормальное напряжение:

тогда из условия прочности имеем:

Прочность балки не обеспечена.

4. Определим проекции силы F на координатные оси:

случай нагружения α = 0˚:

тогда

Прочность балки обеспечена.

Сравниваем результаты расчета:

Задача 2. Проверить прочность изображенной на схеме балки (рис. 11.15), если [σ] = 160 МПа.

Рис. 11.15. Схема защемленной балки при косом изгибе

Решение.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения:

2. Определим максимальное нормальное напряжение:

3. Проверим условие прочности:

Условие прочности соблюдается.

Задача 3. Двутавровая балка № 20 длиной l = 1,4 м нагружена на консоли сосредоточенной силой F = 4 кН, направление которой составляет угол 30º с главной осью инерции сечения (рис. 11.16). Определить нормальные напряжения в угловых точках защемленного сечения и построить эпюру нормальных напряжений.

Рис. 11.16. Схема двутавровой балки при косом изгибе

Решение.

1. Из сортамента ГОСТ 8239–72 для двутавра № 20 находим:

2. Определим изгибающие моменты, действующие в главных плоскостях инерции двутавровой балки:

3. Определим нормальные напряжения в угловых точках защемленного поперечного сечения по формуле

окончательно получим:

Задача 4. Деревянная балка нагружена, как указано на схеме (рис. 11.17). Определить размеры поперечного сечения балки, если [σ] = 10 МПа.

Рис. 11.17. Схема деревянной балки для определения размеров

поперечного сечения при косом изгибе

Решение.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения:

2. Определим значение изгибающих моментов:

3. Условие прочности для защемленного сечения балки:

Задача 5. Определить наибольшую величину силы F (рис. 11.18), которую можно приложить к стальной балке, если допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Чему будет равен максимальный прогиб при этом значении силы?

Рис. 11.18. Схема консольной стальной балки при косом изгибе

Решение.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения:

2. Из условия прочности имеем:

откуда.

3. Определим максимальный прогиб балки при F = 297 кН:

Задача 6. Колонна прямоугольного поперечного сечения нагружена в точке А сжимающей силой F = 120 кН (рис. 11.19). Определить напряжения в угловых точках сечения и построить эпюру нормальных напряжений.

Рис. 11.19. Схема колонны для определения напряжений

в угловых точках сечения

Решение.

1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения:

площадь поперечного сечения:

моменты сопротивления поперечного сечения:

2. Определим внутренние силовые факторы:

3. Находим напряжения в угловых точках прямоугольного сечения по формуле

Окончательно находим:

Задача 7. Деревянный брус прямоугольного поперечного сечения b  h = 50  60 мм (рис. 11.20) растягивается приложенной вдоль оси силой F = 10 кН. Проверить прочность бруса для двух случаев:

1) брус ослаблен двумя вырезами глубиной 20 мм;

2) брус ослаблен одним вырезом с той же глубиной.

Допускаемое напряжение [σ] = 10 МПа.

Рис. 11.20. Схема деревянного бруса

Решение.

1-й случай (центральное растяжение):

2-й случай (внецентренное растяжение):

Во 2-м случае прочность не обеспечена. Нормальные напряжения увеличились на 25 %.

Задача 8. Проверить прочность нижней части бетонной колонны (рис. 11.21), имеющей прямоугольное поперечное сечение b  h = 180  200 мм. Допускаемое напряжение на растяжение [σ]_р = 0,6 МПа, на сжатие [σ]_сж = 7 МПа.

Рис. 11.21. Схема бетонной колонны при внецентренном сжатии

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечения:

2. Определим внутренние силовые факторы:

3. Определим нормальные напряжения:

Условие прочности соблюдается.

Задача 9. Стальной вал диаметром d = 75 мм опирается на подшипники и приводится во вращение от двигателя с угловой скоростью ω = = 20 рад/с (рис. 11.22). Передаваемая на вал мощность N = 50 кВт. На валу насажен шкив, диаметр которого D = 0,8 м и вес G = 0,6 кН. Через шкив переброшен ремень, ветви которого параллельны и наклонены к горизонту под углом 30º. Натяжения ветвей равны 2t и t. Проверить прочность вала по четвертой теории прочности, если [σ] = 80 МПа.

Рис. 11.22. Схема вала при совместном действии изгиба с кручением

Решение.

1. Определим крутящий момент, передаваемый с электродвигателя на шкив ременной передачи:

2. Определим усилие натяжения набегающей ветви ремня:

3. Определим усилие, которое передается на вал за счет натяжения ветвей ременной передачи:

4. Определим усилия, которые действуют на вал в главных плоскостях инерции:

5. Построим эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определим опасное сечение, где

.

6. Определим значение суммарного изгибающего момента:

7. Определим значение приведенного расчетного момента по четвертой теории прочности:

8. Определим момент сопротивления сечения вала:

9. Определим напряжения, возникающие в опасном сечении вала:

Прочность вала обеспечена.