- •20.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •11.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •Введение
- •1. Основные определения, методы и принципы механики материалов
- •1.1. Задачи, цель и предмет механики материалов
- •1.2. Краткая история развития науки о механике материалов
- •1.3. Расчетная схема. Типовые формы элементов
- •1.4. Внешние силы и их классификация
- •1.5. Основные гипотезы и принципы механики материалов
- •1.6. Контрольные вопросы
- •2. Внутренние силы и усилия. Метод сечений
- •2.1. Понятие о внутренних силах и напряжениях
- •2.2. Внутренние усилия
- •2.3. Выражение внутренних усилий через внешние силы
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3. Механические характеристики материалов
- •3.1. Испытание материалов на растяжение
- •3.2. Пластическое и хрупкое разрушение материалов
- •3.3. Концентрация напряжений
- •3.4. Расчеты элементов конструкций (сооружений) на прочность по допускаемым напряжениям и нагрузкам. Коэффициент запаса прочности
- •3.5. Контрольные вопросы
- •4. Растяжение и сжатие
- •4.1. Деформации при растяжении и сжатии
- •4.2. Напряжения при растяжении и сжатии
- •4.3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона
- •4.4. Условия прочности и жесткости
- •4.5. Потенциальная энергия упругой деформации
- •4.6. Пример расчета
- •4.7. Статически неопределимые системы
- •4.7.1. Определение монтажных напряжений, вызванных технологическими неточностями
- •4.7.2. Определение температурных напряжений
- •4.8. Задачи для самостоятельного решения
- •4.9. Контрольные вопросы
- •5. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •5.1. Статические моменты площади сечения
- •5.2. Определение центра тяжести сечения
- •5.3. Осевой, центробежный и полярный моменты инерции сечения. Общие свойства
- •5.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей
- •5.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •5.6. Вычисление главных моментов инерции и определение положения главных центральных осей. Радиусы инерции
- •5.7. Моменты инерции простых сечений
- •5.8. Окружность инерции Мора
- •5.9. Моменты сопротивления сечений
- •5.10. Пример расчета
- •5.11. Задачи для самостоятельного решения
- •5.12. Контрольные вопросы
- •6. Сдвиг
- •6.1. Основные понятия о деформации сдвига. Абсолютный и относительный сдвиг
- •6.2. Внутренние усилия при деформации сдвига. Напряжения при сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига
- •6.3. Связь между модулями упругости e и g для изотропного тела
- •6.4. Расчет на прочность при сдвиге. Потенциальная энергия деформации при сдвиге
- •6.5. Практические примеры деформации сдвига – расчет заклепочных и болтовых соединений на срез и смятие.
- •6.6. Пример расчета
- •6.7. Контрольные вопросы
- •7.2. Закон парности касательных напряжений
- •7.3. Главные площадки и главные напряжения
- •7.4. Линейное напряженное состояние
- •7.5. Плоское напряженное состояние
- •7.6. Круг напряжений Мора
- •7.7. Объемное напряженное состояние
- •7.8. Деформированное состояние
- •7.9. Обобщенный закон Гука
- •7.10. Потенциальная энергия деформации
- •7.11. Пример расчета
- •7.12. Контрольные вопросы
- •8. Теория прочности
- •8.1. Назначение и сущность теорий прочности. Эквивалентное напряженное состояние и эквивалентное напряжение
- •8.2. Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •8.3. Критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)
- •8.4. Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •8.5. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности)
- •8.6. Теория прочности Мора
- •8.7. Пример расчета
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
- •8.9. Контрольные вопросы
- •9. Изгиб
- •9.1. Общие сведения об изгибе балок. Виды изгиба. Чистый изгиб. Поперечный изгиб. Допущения
- •9.2. Внутренние силовые факторы при изгибе. Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.3. Построение эпюр изгибающего момента м и поперечной силы q при изгибе
- •9.4. Дифференциальные зависимости при изгибе. Контроль правильности построения эпюр
- •9.5. Касательные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.6. Условия прочности при изгибе по нормальным и касательным напряжениям
- •9.7. Рациональные формы поперечного сечения балок
- •9.8. Главные напряжения при изгибе
- •9.9. Деформации при изгибе. Угол поворота и прогиб сечения. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •9.10. Способы определения перемещений при изгибе
- •С помощью интеграла Мора
- •Верещагина
- •9.11. Балки переменного сечения. Определение деформаций
- •, Откуда ;
- •, Откуда .
- •9.12. Расчет статически неопределимых балок.
- •Промежуточного шарнира
- •9.13. Пример расчета
- •9.14. Контрольные вопросы
- •10.2. Угол закручивания. Главные напряжения. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении
- •10.3. Расчет на прочность и жесткость круглого и кольцевого поперечного сечения. Расчет валов по заданной мощности и частоте вращения
- •10.4. Статически неопределимые задачи на кручение
- •10.5. Расчет цилиндрических винтовых пружин с малым шагом витков
- •10.6. Пример расчета
- •10.7. Задачи для самостоятельного решения
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11. Сложное сопротивление
- •11.1. Особенности расчета брусьев при сложном сопротивлении
- •11.2. Косой изгиб, основные понятия. Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Нахождение опасного сечения
- •11.3. Положение нейтральной оси и опасных точек
- •11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные
- •11.5. Нейтральная ось, ее уравнение и свойства
- •11.6. Положение опасных точек. Условие прочности
- •11.7. Понятие о ядре сечения при внецентренном растяжении
- •11.8. Изгиб с кручением пространственного вала
- •11.9. Определение положения опасного сечения и диаметра вала с использованием третьей и четвертой теорий прочности
- •11.10. Пример расчета
- •11.11. Контрольные вопросы
- •12.2. Критическая сила. Формула Эйлера. Влияние закрепления концов стержня на величину критической силы
- •12.3. Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского
- •12.4. Расчеты сжатых стержней на устойчивость при помощи коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие
- •12.5. Выбор материалов и рациональной формы поперечных сечений сжатых стержней
- •12.7. Пример расчета
- •12.9. Задачи для самостоятельного решения
- •12.10. Контрольные вопросы
- •13. Динамические нагружения
- •13.1. Виды динамических нагрузок. Учет сил инерции. Критическая скорость вращения вала
- •13.2. Элементарная теория удара. Динамический коэффициент. Продольный и поперечный удар
- •13.3. Удар при кручении. Защита приборов и оборудования от ударов. Определение напряжений при ударном воздействии
- •13.4. Пример расчета
- •13.5. Задачи для самостоятельного решения
- •13.6. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Двутавры стальные горячекатаные (по гост 8239–89)
- •Швеллеры стальные горячекатаные (по гост 8240–89)
- •Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по гост 8509–86)
- •Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (по гост 8510–86)
- •Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения φ при продольном изгибе
5.6. Вычисление главных моментов инерции и определение положения главных центральных осей. Радиусы инерции
Подставив значение aо в формулу Jx1 (Jу1), после преобразований получим формулу для определения главных моментов инерции:
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. Одна из главных осей инерции (ось максимум) обозначается U, а другая (ось минимум) – V (рис. 5.3).
Например, положение главной центральной оси U, относительно которой момент инерции максимален, т. е. IU = Imax, можно определить двумя способами:
1) при Jxy < 0 главная ось U проходит через 1-й и 3-й, а при Jxy > 0 – через 2-й и 4-й квадранты;
2) если Jx > Jy, то главная ось U находится под углом αо к оси x. При Jx < Jy ось U находится под углом αо к оси y.
Радиусы инерции сечения относительно координатных осей x, y обозначаются ix, iy соответственно и определяются по формулам:
; ,
где А – площадь поперечного сечения бруса.
5.7. Моменты инерции простых сечений
Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести. Выделим в плоскости прямоугольника элементарную площадку dА шириной b и высотой dy1 (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Схема прямоугольника
для определения главных
осевых моментов инерции
Определим осевой момент инерции Jx1 относительно оси х1, проходящей через основание прямоугольника:
,
аналогично
.
Найдем осевой момент инерции Jx относительно оси х, проходящей через центр тяжести прямоугольника. Используем формулы для оп-
ределения осевого момента инерции при параллельном переносе осей:
аналогично
,
где – расстояние между осями у1 и у;
– расстояние между осями х1 и х;
– площадь прямоугольника.
Определим осевые моменты инерции треугольника. В плоскости треугольника (рис. 5.5) выделим элементарную площадку, параллельную оси х, площадью dA = b(yi) dyi.
Рис. 5.5. Схема треугольника
для определения главных
осевых моментов инерции
Из подобия треугольников имеем:
.
Из этого соотношения находим , тогда , подставим dA в формулу для определения Jx, получим
, аналогично – осевые моменты инерции треугольника относительно осей х и у соответственно.
Определим осевой момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Схема треугольника
для определения момента инерции
относительно центральной оси хс
Воспользуемся формулой , откуда . Учитывая, что , окончательно получим
Определим полярный и осевые моменты инерции круга. В плоскости круга (рис. 5.7) выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца с внутренним диаметром и толщиной d. Тогда площадь кольца dА = 2d и полярный момент инерции круга
Согласно зависимости имеем – осевой момент инерции круга.
Рис. 5.7. Схема круга для определения
полярного и осевых моментов инерции
5.8. Окружность инерции Мора
Практические задачи на вычисление моментов инерции относительно повернутых осей удобно решать графическим способом при помощи окружности инерции Мора.
Зависимости, полученные при повороте осей,
возведем в квадрат:
и сложим, получим
.
Обозначим , , , тогда полученное в результате сложения уравнение имеет вид – уравнение окружности, центр которой лежит на оси и смещен вправо от начала координат на величину а.
Таким образом, моменты инерции относительно повернутых осей определяются координатами точек некоторой окружности, которая называется окружностью инерции Мора.
Пусть требуется определить моменты инерции для некоторого произвольного сечения (рис. 5.8) относительно повернутых осей u и v, если известны моменты инерции относительно осей х1 и у1.
Рис. 5.8. Схема для определения
моментов инерции сечения
относительно повернутых осей u и v
Предположим, что , 0. Откладывая осевые моменты инерции по оси абсцисс, а центробежные – по оси ординат, выполним следующие графические построения (рис. 5.9):
1) отложим в масштабе отрезки ОD = Jx1, DA = Jx1y1; ОЕ = Jy1, ЕВ = – Jx1y1, получим точки А и В;
2) на отрезке АВ, как на диаметре, построим окружность, которая является окружностью инерции Мора. Докажем это утверждение. Так как АО1D = BО1E, то
О1D = O1E = ; О1А = О1В = =
= R,
OO1 = OE + EO1 = + = = a.
Рис. 5.9. Окружность инерции Мора
Согласно рис. 5.9, центр построенной окружности сдвинут вправо относительно начала координат на расстояние а и ее радиус равен радиусу окружности инерции Мора;
3) проведем из точки А горизонтальную прямую до пересечения с окружностью в точке С, которая называется полюсом окружности инерции Мора.
Полюс обладает следующим свойством. Если из полюса провести отрезок параллельно некоторой оси U, то он пересечет окружность инерции Мора в точке К, координаты которой равны моментам инерции: Ju = ОL, Juv= КL.
Осевой момент инерции Jy определяется абсциссой точки М пересечения луча CM CК с окружностью инерции Мора, т. е. Jv= ON, Jху= –MN.
Окружность инерции Мора можно использовать для определения главных моментов инерции и положения главных осей. Главные моменты инерции на окружности изображаются точками 1 и 2, у которых ординаты равны нулю. Тогда имеем:
, .
Так как , , то окончательные формулы для определения главных моментов инерции имеют вид
.
Главные оси инерции определяются углами 1, 2 или 0 (рис. 5.9):
;
;
,
где 1, 2 – углы, образованные осями Umax и Vmin с осью X1(Jос) соответственно.