7.9. Обобщенный закон Гука

Приведенные выше формулы теории напряженного и деформированного состояния применимы как для упругих, так и для неупругих тел. Для решения контактных задач необходимо знать количественные зависимости между напряжениями и деформациями. Рассмотрим их для случая линейно-упругих, изотропных тел.

Выделим из деформированного тела элементарный куб, к граням которого приложены главные напряжения Применяя принципы независимости действия сил, будем считать, что на выделенный элемент действуют только напряжения , т. е. Тогда он будет находиться в линейном напряженном состоянии. На основании закона Гука для линейного напряженного состояния имеем:

если , то

Аналогично, когда , то

Полные линейные деформации в направлении равны:

.

Подставляя в последние выражения деформации, выраженные через напряжения, получим:

Для плоского напряженного состояния одно из напряжений (например, ) равно нулю, тогда:

;

;

Полученные формулы называются обобщенным законом Гука для объемного и плоского напряженного состояния.

7.10. Потенциальная энергия деформации

В случае линейного напряженного состояния удельная потенциальная энергия определяется формулой

Используя принцип независимости действия сил, обобщим эту формулу на случай объемного напряженного состояния:

Подставив в данное выражение значения для , из обобщенного закона Гука, получим:

С другой стороны можно записать:

,

где удельная потенциальная энергия изменения объема;

удельная потенциальная энергия изменения формы.

,

7.11. Пример расчета

Задача 1. Стержень растянут силой F = 10 кН (рис. 7.14). Определить нормальное, касательное и полное напряжения в сечении стержня, наклоненном к поперечному сечению на угол α = 60˚. Площадь поперечного сечения стержня A = 2 см².

Рис. 7.14. Схема стержня для определения

напряжений в наклонном сечении

Решение.

Ответ:

Задача 2. Нормальное напряжение в одном из наклонных сечений растянутого стержня равно 90 МПа (рис. 7.15). Определить положение этого сечения и величину действующего касательного напряжения, если нормальное напряжение в поперечном сечении равно 120 МПа.

Рис. 7.15. Схема наклонного сечения

стержня

Решение.

Задача 3. Чугунный кубик с ребром 25 мм был испытан на сжатие. При нагрузке F = 400 кН он разрушился по плоскости, проходящей через диагонали смежных граней (рис. 7.16). Определить полное, нормальное и касательное напряжения в этом сечении в момент разрушения.

Рис. 7.16. Схема чугунного кубика

Решение.

.

Ответ:

Задача 4. В опасной точке нагруженной детали напряженное состояние оказалось таким, как указано на схеме (рис. 7.17). Определить величину и направление главных напряжений.

Рис. 7.17. Схема для определения

направления главных напряжений

Решение.

;

Ответ:

Задача 5. В жесткой плите сделан паз. В этот паз плотно без зазора вставлен кубик с размером ребер 10 мм и сжат силой F = 6 кН (рис. 7.18). Считая плиту несжимаемой, определить все три главные напряжения, если μ = 0,3.

Рис. 7.18. Схема жесткой плиты с пазом

Решение.

Ответ:

Задача 6. Элемент стального бруса находится в условиях двухосного растяжения. Определить главные напряжения, если относительные деформации по направлению главных напряжений соответственно равны: .

Решение.

Решая совместно эти два уравнения относительно σ₁ и σ₂, получим:

Ответ: 𝜎₁ = 150 МПа; 𝜎₁ = 134 МПа.