- •20.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •11.06.2012 Г. (протокол № 10)
- •Введение
- •1. Основные определения, методы и принципы механики материалов
- •1.1. Задачи, цель и предмет механики материалов
- •1.2. Краткая история развития науки о механике материалов
- •1.3. Расчетная схема. Типовые формы элементов
- •1.4. Внешние силы и их классификация
- •1.5. Основные гипотезы и принципы механики материалов
- •1.6. Контрольные вопросы
- •2. Внутренние силы и усилия. Метод сечений
- •2.1. Понятие о внутренних силах и напряжениях
- •2.2. Внутренние усилия
- •2.3. Выражение внутренних усилий через внешние силы
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3. Механические характеристики материалов
- •3.1. Испытание материалов на растяжение
- •3.2. Пластическое и хрупкое разрушение материалов
- •3.3. Концентрация напряжений
- •3.4. Расчеты элементов конструкций (сооружений) на прочность по допускаемым напряжениям и нагрузкам. Коэффициент запаса прочности
- •3.5. Контрольные вопросы
- •4. Растяжение и сжатие
- •4.1. Деформации при растяжении и сжатии
- •4.2. Напряжения при растяжении и сжатии
- •4.3. Абсолютная и относительная деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона
- •4.4. Условия прочности и жесткости
- •4.5. Потенциальная энергия упругой деформации
- •4.6. Пример расчета
- •4.7. Статически неопределимые системы
- •4.7.1. Определение монтажных напряжений, вызванных технологическими неточностями
- •4.7.2. Определение температурных напряжений
- •4.8. Задачи для самостоятельного решения
- •4.9. Контрольные вопросы
- •5. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса
- •5.1. Статические моменты площади сечения
- •5.2. Определение центра тяжести сечения
- •5.3. Осевой, центробежный и полярный моменты инерции сечения. Общие свойства
- •5.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей
- •5.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •5.6. Вычисление главных моментов инерции и определение положения главных центральных осей. Радиусы инерции
- •5.7. Моменты инерции простых сечений
- •5.8. Окружность инерции Мора
- •5.9. Моменты сопротивления сечений
- •5.10. Пример расчета
- •5.11. Задачи для самостоятельного решения
- •5.12. Контрольные вопросы
- •6. Сдвиг
- •6.1. Основные понятия о деформации сдвига. Абсолютный и относительный сдвиг
- •6.2. Внутренние усилия при деформации сдвига. Напряжения при сдвиге. Закон Гука при сдвиге. Модуль сдвига
- •6.3. Связь между модулями упругости e и g для изотропного тела
- •6.4. Расчет на прочность при сдвиге. Потенциальная энергия деформации при сдвиге
- •6.5. Практические примеры деформации сдвига – расчет заклепочных и болтовых соединений на срез и смятие.
- •6.6. Пример расчета
- •6.7. Контрольные вопросы
- •7.2. Закон парности касательных напряжений
- •7.3. Главные площадки и главные напряжения
- •7.4. Линейное напряженное состояние
- •7.5. Плоское напряженное состояние
- •7.6. Круг напряжений Мора
- •7.7. Объемное напряженное состояние
- •7.8. Деформированное состояние
- •7.9. Обобщенный закон Гука
- •7.10. Потенциальная энергия деформации
- •7.11. Пример расчета
- •7.12. Контрольные вопросы
- •8. Теория прочности
- •8.1. Назначение и сущность теорий прочности. Эквивалентное напряженное состояние и эквивалентное напряжение
- •8.2. Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •8.3. Критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)
- •8.4. Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •8.5. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности)
- •8.6. Теория прочности Мора
- •8.7. Пример расчета
- •8.8. Задачи для самостоятельного решения
- •8.9. Контрольные вопросы
- •9. Изгиб
- •9.1. Общие сведения об изгибе балок. Виды изгиба. Чистый изгиб. Поперечный изгиб. Допущения
- •9.2. Внутренние силовые факторы при изгибе. Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.3. Построение эпюр изгибающего момента м и поперечной силы q при изгибе
- •9.4. Дифференциальные зависимости при изгибе. Контроль правильности построения эпюр
- •9.5. Касательные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений
- •9.6. Условия прочности при изгибе по нормальным и касательным напряжениям
- •9.7. Рациональные формы поперечного сечения балок
- •9.8. Главные напряжения при изгибе
- •9.9. Деформации при изгибе. Угол поворота и прогиб сечения. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •9.10. Способы определения перемещений при изгибе
- •С помощью интеграла Мора
- •Верещагина
- •9.11. Балки переменного сечения. Определение деформаций
- •, Откуда ;
- •, Откуда .
- •9.12. Расчет статически неопределимых балок.
- •Промежуточного шарнира
- •9.13. Пример расчета
- •9.14. Контрольные вопросы
- •10.2. Угол закручивания. Главные напряжения. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении
- •10.3. Расчет на прочность и жесткость круглого и кольцевого поперечного сечения. Расчет валов по заданной мощности и частоте вращения
- •10.4. Статически неопределимые задачи на кручение
- •10.5. Расчет цилиндрических винтовых пружин с малым шагом витков
- •10.6. Пример расчета
- •10.7. Задачи для самостоятельного решения
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11. Сложное сопротивление
- •11.1. Особенности расчета брусьев при сложном сопротивлении
- •11.2. Косой изгиб, основные понятия. Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса. Нахождение опасного сечения
- •11.3. Положение нейтральной оси и опасных точек
- •11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные
- •11.5. Нейтральная ось, ее уравнение и свойства
- •11.6. Положение опасных точек. Условие прочности
- •11.7. Понятие о ядре сечения при внецентренном растяжении
- •11.8. Изгиб с кручением пространственного вала
- •11.9. Определение положения опасного сечения и диаметра вала с использованием третьей и четвертой теорий прочности
- •11.10. Пример расчета
- •11.11. Контрольные вопросы
- •12.2. Критическая сила. Формула Эйлера. Влияние закрепления концов стержня на величину критической силы
- •12.3. Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского
- •12.4. Расчеты сжатых стержней на устойчивость при помощи коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие
- •12.5. Выбор материалов и рациональной формы поперечных сечений сжатых стержней
- •12.7. Пример расчета
- •12.9. Задачи для самостоятельного решения
- •12.10. Контрольные вопросы
- •13. Динамические нагружения
- •13.1. Виды динамических нагрузок. Учет сил инерции. Критическая скорость вращения вала
- •13.2. Элементарная теория удара. Динамический коэффициент. Продольный и поперечный удар
- •13.3. Удар при кручении. Защита приборов и оборудования от ударов. Определение напряжений при ударном воздействии
- •13.4. Пример расчета
- •13.5. Задачи для самостоятельного решения
- •13.6. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Двутавры стальные горячекатаные (по гост 8239–89)
- •Швеллеры стальные горячекатаные (по гост 8240–89)
- •Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по гост 8509–86)
- •Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (по гост 8510–86)
- •Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения φ при продольном изгибе
9.14. Контрольные вопросы
1. Что такое чистый изгиб, поперечный изгиб и продольно-поперечный изгиб?
2. Внутренние силовые факторы при изгибе.
3. Как определяются нормальные и касательные напряжения при изгибе?
4. Построение эпюр М и Q при изгибе.
5. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.
6. Условие прочности и жесткости при изгибе.
7. Рациональное сечение балки при изгибе.
8. Формула Журавского для определения касательных напряжений при изгибе.
9. Построение эпюр М и Q для простейших сечений при изгибе.
10. Определение перемещений при изгибе – аналитический, графоаналитический методы.
11. Метод начальных параметров.
12. Уравнение трех моментов при расчете неразрезных балок.
10. Кручение
10.1. Кручение прямого стержня круглого поперечного
сечения. Напряжения в поперечном сечении вала.
Крутящий момент
Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях элементов конструкций возникает только крутящий момент Мкр, а другие внутренние силовые факторы (продольная сила, изгибающие моменты, поперечные силы) равны нулю.
Сложность решения задачи по определению напряжений и деформаций при кручении зависит от формы поперечного сечения. Наиболее просто в механике материалов решаются задачи для стержней круглого и кольцевого поперечного сечения. Стержни круглого поперечного сечения, работающие на кручение, называются валами.
Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях вала, рассмотрим уравнение, связывающее крутящий момент с касательными напряжениями:
,
где τ – касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dА, расположенной на расстоянии ρ от центра тяжести сечения.
Так как закон распределения касательных напряжений по сечению вала не известен, то определить τ из интегрального уравнения невозможно. Для его определения рассмотрим деформации вала.
Для этого на поверхность круглого вала нанесем ортогональную сетку линий с постоянным шагом – прямые линии вдоль образующих цилиндра и окружности, перпендикулярные к продольной оси вала z (рис. 10.1, а). После деформации вала (рис. 10.1, б) образующие цилиндра переходят в винтовые линии, которые составляют угол γ с образующими.
Все окружности в перпендикулярных сечениях сохраняют свою форму и поворачиваются одна относительно другой на некоторый угол, называемый углом закручивания. Длина вала не изменяется. Квадратные элементы на цилиндрической поверхности вала деформируются и приобретают форму ромбов.
Рис. 10.1. Схема вала с ортогональной сеткой
на его поверхности
Допущения, основанные на гипотезе плоских сечений:
1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими после деформации и поворачиваются одно относительно другого на некоторый угол;
2) радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, при кручении вала не искривляются.
Выделим часть вала длиной dz между двумя поперечными сечениями. Считаем, что правое сечение закреплено в заделке, а левое сечение закручивается моментом Мкр (рис. 10.2, б). При этом точка А остается неподвижной, а точка B переместится в положение . Мысленно вырежем в выделенном элементе внутреннюю часть с наружным радиусом ρ. Получим кольцевое сечение толщиной dρ. Определим значение из
Рис. 10.2. Схема выделенной части вала длиной dz
Из имеем:
,
учитывая, что при малых деформациях , получим
С другой стороны, из:
Окончательно получим:
,
откуда
где угол сдвига,
абсолютный угол закручивания, размерность, рад.
Обозначим – относительный угол закручивания, размерность, , тогда
Используя закон Гука при сдвиге, получим:
величина касательных напряжений в сечении вала на расстоянии от центра тяжести сечения; модуль сдвига.
На основании полученной формулы можно сделать вывод, что в сечении вала распределяются по линейному закону и максимальные касательные напряжения возникают на поверхности вала. В центре вала касательные напряжения равны нулю.
Распределение касательных напряжений по сечению вала показано на рис. 10.3.
Рис. 10.3. Схема распределения касательных
напряжений по сечению вала
Величину крутящего момента Mкр можно определить через . Момент относительно оси z от действия касательных напряжений на элементарной площадке dА равен (рис. 10.4):
.
Рис. 10.4. Схема для определения Мкр
в сечении вала
Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:
Пусть геометрические размеры поперечного сечения вала одинаковы по длине. Материал вала однороден и изотропен. Подставим в интеграл выражение , получим:
Правило знаков для крутящих моментов.
Если крутящий момент со стороны внешней нормали n к сечению вала вращается против часовой стрелки, то он считается положительным (рис. 10.5), в противном случае – крутящий момент считается отрицательным.
Рис. 10.5. Схема для определения знаков крутящих
моментов в сечениях вала
На эпюре крутящих моментов положительные значения откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные значения – вниз.