9.6. Условия прочности при изгибе по нормальным и касательным напряжениям

Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы максимальные нормальные напряжения в опасном сечении, где изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения, не превосходили допускаемой величины.

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям для симметричных сечений имеет вид

.

Для балок с несимметричным поперечным сечением относительно оси x необходимо составить два условия прочности – для сжатой и растянутой зоны отдельно:

и ,

где [σ_с] и [σ_р] – допускаемые напряжения на сжатие и на растяжение соответственно.

Из условия прочности по нормальным напряжениям вытекает три вида расчетов:

1) проверочный расчет, при котором определяются максимальные нормальные напряжения и сравниваются с допускаемыми напряжениями;

2) проектировочный расчет для определения размеров поперечного сечения;

3) определение величины допускаемой нагрузки (несущей способности балки).

При подборе сечений прокатного профиля необходимо определить из условия прочности требуемый момент сопротивления W_x и затем из таблиц сортамента найти соответствующий номер профиля.

Определим моменты сопротивления для простых сечений.

1. Прямоугольное сечение (квадрат) (рис. 9.17):

.

Рис. 9.17. Схема

прямоугольного сечения

При проектировочном расчете задаемся соотношением размеров поперечного сечения, например, h = 2b, тогда

,

из условия прочности имеем:

.

2. Круглое сечение.

Для круглого сечения (рис. 9.18) осевой момент сопротивления определяется аналогично.

Рис. 9.18. Схема круглого сечения

,

тогда из условия прочности

.

Допускаемая нагрузка на балку определяется величиной максимального изгибающего момента.

При изгибе балок кроме расчета на прочность по нормальным напряжениям производится расчет на прочность по касательным напряжениям.

Расчет выполняется для сечения, где действует поперечная сила Q_max.

Условие прочности имеет следующий вид:

τ_max ≤ [τ],

где [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Для стальных балок имеем:

[τ] ≈ 0,6 [τ],

для балок прямоугольного сечения:

;

для балок круглого сечения:

;

для балок двутаврового сечения:

.

В длинных балках постоянного сечения касательные напряжения значительно меньше нормальных напряжений. Для таких балок расчет на прочность по касательным напряжениям выполняется как проверочный.

9.7. Рациональные формы поперечного сечения балок

В общем случае выбор поперечного сечения балки определяется материалом, характером внешней нагрузки и условиями работы конструкции.

Будем считать сечение балки рациональным, если оно обеспечивает необходимую прочность при минимальном весе, т. е. при минимальной площади поперечного сечения.

Согласно условию прочности:

.

Предположим, что площадь поперечного сечения балки А = const, тогда наиболее рациональной формой поперечного сечения будет такая, для которой W_х имеет максимальное значение. Для этого следует располагать большую часть площади сечения дальше от нейтральной оси (рис. 9.19).

Рис. 9.19. Моменты сопротивления для различных сечений балки

Согласно рис. 9.19 наиболее рациональной будет форма сечения 5. Таким образом, при изгибе балки из пластичного материала сечение тем рациональнее с точки зрения расхода материала, чем оно ближе к форме идеального двутавра (рис. 9.20).

Рис. 9.20. Схема идеального двутавра

Если материал конструкции одинаково работает на растяжение и сжатие (сталь), то рациональными будут сечения, симметричные относительно нейтральной оси. Близким к идеальному сечению является двутавровое сечение. Деревянные балки, как правило, имеют прямоугольное или круглое сечение, так как изготовление деревянных двутавровых балок требует больших трудозатрат. Следует отметить, что при одинаковой прочности вес двутавровой балки значительно меньше, почти в 4 раза, по сравнению с балкой круглого сечения.

Для балок из хрупких материалов (чугун, бетон) целесообразно использовать несимметричные сечения относительно нейтральной оси. Хрупкие материалы хорошо работают на сжатие и значительно хуже на растяжение. Поэтому, выбирая форму сечения балки, можно добиться того, чтобы нейтральная линия была смещена в сторону растянутой зоны и σ_max в растянутой зоне было значительно меньше, чем в сжатой зоне.