7.2. Закон парности касательных напряжений

Параллелепипед под действием приложенных к нему сил (см. рис. 7.2) находится в равновесии, следовательно, должны соблюдаться уравнения статики. Составим сумму моментов всех сил, приложенных к граням параллелепипеда, относительно координатной оси z.

Из теоретической механики известно, что силы, пересекающие ось и параллельные ей, не создают момента относительно этой оси. Напряжения τ_ху и τ_ух, действующие на взаимно перпендикулярных гранях, создают моменты относительно оси z, равные по величине и противоположные по направлению. Поэтому соответствующее уравнение равновесия можно представить в следующем виде:

Откуда следует:

Аналогично составляя уравнения равновесия относительно других координатных осей

получим

Эти равенства называют законом парности касательных напряжений. Он гласит: на любых взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены так, что стремятся вращать выделенный элемент в противоположные стороны.

7.3. Главные площадки и главные напряжения

При повороте выделенного элемента напряжения, действующие на его гранях, изменяются. При этом существуют такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Они называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на этих площадках – главными напряжениями. Главные напряжения обозначают σ₁, σ₂ и σ₃, при этом индексы выбираются так, чтобы выполнялись алгебраические неравенства σ₁ > σ₂ > σ₃.

Если только одно главное напряжение отлично от нуля, то напряженное состояние называется одноосным или линейным, только два – двухосным или плоским, три – трехосным или объемным.

7.4. Линейное напряженное состояние

Рассмотрим стержень, растягиваемый силами N, действующими вдоль его оси. В поперечных сечениях стержня, достаточно удаленных от точек приложения сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно и определяются по формуле (рис. 7.4, а):

где площадь поперечного сечения.

Касательные напряжения в сечениях равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками. Напряжения на площадках, параллельных оси стержня, равны нулю. Таким образом, стержень находится в линейном напряженном состоянии.

Определим напряжения на наклонных площадках. Проведем сечение стержня так, чтобы его внешняя нормаль составляла угол α с осью стержня. Будем считать угол α положительным, если он направлен против часовой стрелки. Действующие на наклонной площадке A_α напряжения: P_α = σ₁ – полное, σ_α – нормальное, τ_α – касательное (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Схема линейного напряженного состояния

Составим уравнения равновесия отсеченной части стержня (рис. 7.4, б):

Откуда

Проектируя на направление нормали и касательной к сечению, получим:

7.5. Плоское напряженное состояние

Многие элементы конструкций находятся в условиях плоского напряженного состояния. В этом случае отличными от нуля являются четыре из девяти компонент тензора напряжений (рис. 7.5, а).

Для определения напряжений на наклонных площадках рассмотрим призматический элемент (рис. 7.5, а). Спроектируем все силы, действующие на него, последовательно на направление нормали и касательной к наклонной площадке, получим:

Рис. 7.5. Схема плоского напряженного состояния

Учитывая, что

найдем

;

Для определения положения главных площадок следует принять, что . В результате получим:

Формулы для главных напряжений. Найдем формулы для определения главных напряжений через напряжения, действующие па произвольных площадках. Для этого предположим, что площадка dА_α – главная и на ней действует главное напряжение σ_α = σ, а τ_α = 0. Спроектируем все силы, действующие на выделенный элемент, на оси х и у соответственно. В результате получим:

Учитывая зависимость между , , получим:

Это однородная система линейных алгебраических уравнений относительно Так как

Это квадратное уравнение относительно , корни которого имеют вид:

Исследуем, при каком значении угла наклона площадок α действующие на них нормальные напряжения достигают экстремальных значений. Для этого продифференцируем τ_α по α и приравняем производную к нулю. В результате получим:

Следовательно, нормальные напряжения достигают экстремума на тех площадках, где касательные напряжения равны нулю, т. е. на главных площадках.

Если известны главные напряжения, то напряжения на наклонных площадках определяются следующим образом: