11.4. Внецентренное растяжение и сжатие бруса. Нормальные

напряжения в поперечных сечениях бруса

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором растягивающая (сжимающая) сила параллельна продольной оси бруса, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести поперечного сечения.

Такой тип задач часто применяется в строительстве при расчете колонн зданий. Рассмотрим внецентренное сжатие бруса. Обозначим координаты точки приложения силы F через х_F и у_F,а главные оси поперечного сечения – через х и у. Ось z направим таким образом, чтобы координаты х_F и у_F были положительными (рис. 11.7, а)

Если перенести силу F параллельно самой себе из точки С в центр тяжести сечения, то внецентренное сжатие можно представить как сумму трех простых деформаций: сжатия и изгиба в двух плоскостях (рис. 11.7, б). При этом имеем:

,

Напряжения в произвольной точке сечения при внецентренном сжатии, лежащей в первом квадранте, с координатами x и y можно найти исходя из принципа независимости действия сил:

Так как

квадраты радиусов инерции сечения, то

где x и y – координаты точки сечения, в которой определяется напряжение.

При определении напряжений необходимо учитывать знаки координат как точки приложения внешней силы, так и точки, где определяется напряжение.

Рис. 11.7. Схема бруса при внецентренном сжатии

В случае внецентренного растяжения бруса в полученной формуле следует заменить знак «минус» на знак «плюс».

11.5. Нейтральная ось, ее уравнение и свойства

Обозначим координаты точек нейтральной оси через x₀ и y₀. Так как в точках нейтральной оси 0, то приравняем правую часть уравнения для определения нормальных напряжений к нулю.

С учетом того, чтополучим:

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Определим отрезки а_х и a_y, отсекаемые нейтральной осью на координатных осях (рис. 11.8).

Рис. 11.8. Схема для определения отрезков, отсекаемых

нейтральной осью на осях координат

Для этого в уравнении нейтральной оси сначала приравняем нулю у₀.

При у₀ = 0 получим следующее выражение:

откуда .

Аналогично при x₀ = 0, имеем:

далее .

Знак «минус» в данных формулах указывает на то, что точка приложения силы C и нейтральная ось всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения (рис. 11.9, а, б).

Положение нейтральной оси зависит от координат точки приложения нагрузки – чем ближе сила приложена к центру тяжести сечения, тем дальше от него расположена нейтральная ось.

Рис. 11.9. Схема для определения положения нейтральной оси

Если сила F приложена в точке, лежащей на оси у (x_F = 0), то нейтральная ось будет параллельна оси x (рис. 11.9, в), так как:

Аналогично и для другой оси.

11.6. Положение опасных точек. Условие прочности

Нейтральная ось делит сечение на две зоны – сжатую и растянутую. Напряжения в точках сечения линейно зависят от расстояния до нейтральной оси. Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной оси, получим точки M и N (см. рис. 11.8). В этих точках возникают максимальные напряжения растяжения и сжатия соответственно. Если материал бруса неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию (чугун, бетон, каменная кладка), то необходимо составить два условия прочности: