9.2. Внутренние силовые факторы при изгибе. Нормальные напряжения при изгибе. Эпюры напряжений

В сечении балки, взятом на участке чистого изгиба, возникает только один изгибающий момент

.

Следовательно, в сечении действуют нормальные напряжения σ (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Схема внутренних сил при чистом изгибе

Продольная сила N и изгибающий момент М_у будут равны нулю, т. е.

;

.

Из формулы для определения изгибающего момента М_х нельзя определить величину нормальных напряжений σ, так как неизвестно, как они распределены по сечению.

Задача определения напряжений σ в сечении балки является статически неопределимой. Пусть отдельное волокно при изгибе испытывает простое растяжение или сжатие. Тогда для него можно записать закон Гука как при растяжении:

σ = Еε.

Чтобы найти относительную деформацию ε на участке чистого изгиба, выделим элемент балки длиной dz и рассмотрим его деформацию.

Сечения mn и m₁n₁ остаются плоскими и поворачиваются на угол dφ/2. Волокна нейтрального слоя искривляются, но их длина не изменяется. Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим ρ. Тогда имеем:

dz = OO₁ = ρdφ.

Волокно АВ, расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя, удлиняется, радиус его кривизны составляет ρ + у (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Схема деформации элемента балки длиной dz

Относительное удлинение волокна:

.

Тогда .

Подставим данное выражение в формулу для М_х:

.

Учитывая, что

представляет момент инерции сечения относительно оси x, можно записать

.

Откуда

.

Величина EJ_x называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.

Из вышеприведенной формулы видно, что если балка изготовлена из однородного материала (Е = const) и имеет постоянное сечение (J_x = const), то при чистом изгибе (М = const) ее ось искривляется по дуге окружности (ρ = const). Подставим в формулу для определения σ значение кривизны, получим:

.

Из формулы видно, что нормальные напряжения распределяются по сечению неравномерно и достигают наибольшего значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При положительном изгибающем моменте нижние волокна будут растянуты (ρ > 0), а верхние волокна сжаты (ρ < 0).

Определим положение нейтральной оси сечения z. Для этого приравняем к нулю N и М_y:

;

.

Так как

,

то на основании этого делаем заключение, что нейтральная ось z проходит через центр тяжести сечения, а оси x и у являются главными центральными осями сечения. Эпюра напряжений для сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии, всегда будет иметь вид, представленный на рис. 9.5.

При положительном изгибающем моменте все волокна, расположенные выше нейтральной линии, являются сжатыми, а ниже ее – растянутыми.

Рис. 9.5. Эпюра распределения нормальных напряжений в сечениях

с горизонтальной осью симметрии

Максимальные нормальные напряжения возникают при у = у_max. Таким образом,

.

Отношение осевого момента инерции к расстоянию от наиболее удаленной точки сечения до нейтральной оси называется осевым моментом сопротивления, т. е.

.

Момент сопротивления измеряется в сантиметрах кубических (см³) и зависит от формы и размеров поперечного сечения, тогда

.

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рис. 9.6), то расстояния от нейтральной оси до крайних нижних и крайних верхних волокон различны.

Рис. 9.6. Эпюра распределения нормальных напряжений

в сечениях без горизонтальной оси симметрии

Обозначим их через h_p и h_с соответственно. Тогда напряжения в крайних волокнах выразятся формулами:

; .