Верещагина

Эпюры Mx, построенные от внешних нагрузок	Эпюры , построенные от единичных сил и моментов
	abc

9.11. Балки переменного сечения. Определение деформаций

Размеры балок с постоянным поперечным сечением определяются по максимальному изгибающему моменту в опасном сечении, в остальных же сечениях балка имеет лишний запас прочности. Поэтому на практике широко распространены балки, поперечное сечение которых изменяется по длине. Кроме того, по конструктивным соображениям балки, работающие на изгиб, часто имеют отверстия, выточки, ступени, конусность и т. д.

С точки зрения расчета на прочность и жесткость все такие балки можно разделить на три основные группы:

балки, имеющие местные изменения формы и размеров сечений (рис. 9.27, а);

балки ступенчато-переменного сечения (рис. 9.27, б);

балки, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине размеры сечений (рис. 9.27, в).

Рис. 9.27. Схемы балок с переменным сечением по длине

Отверстия, выточки и прочие нарушения формы и размеров сечений вызывают резкое и значительное изменение закона распределения напряжений и деформаций. Однако это изменение носит местный характер и на прочность стержня в большинстве случаев влияет незначительно. Поэтому условие прочности записывают для опасной точки, расположенной в одном из ослабленных сечений, так как здесь может иметь место концентрация напряжений. В зависимости от чувствительности материала к концентрации напряжений условия прочности будут иметь различный вид.

Для пластичных материалов (малоуглеродистая сталь, медь, алюминий) и хрупких неоднородных материалов (чугун) концентрация напряжений не учитывается и условие прочности записывается в обычном виде:

.

Для однородных хрупких материалов (высокопрочная закаленная сталь) концентрацию напряжений необходимо учитывать. Для таких материалов условие прочности имеет вид

,

где а – теоретический коэффициент концентрации напряжений, опреде-

ляемый по справочным таблицам.

При определении прогибов и углов поворота сечений отверстия и прочие нарушения формы и размеров сечения не учитывают.

В местах сопряжения участков с различными размерами поперечных сечений возникает концентрация напряжений. Если материал чувствителен к ней, то необходимо применять второе условие прочности ко всем сечениям на границах участков балки. Если же материал нечувствителен к концентрации напряжений, то следует применить первое условие прочности к нескольким вероятным опасным сечениям.

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки или энергетическими методами, которые будут рассмотрены ниже, или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалентным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости.

Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине размерами сечений являются балки равного сопротивления изгибу. В таких балках во всех сечениях максимальные нормальные напряжения одинаковы и равны допускаемым напряжениям, т. е.

,

отсюда

.

Рассмотрим балку равного сопротивления изгибу на примере.

Балка прямоугольного сечения одним концом защемлена в заделку, на ее свободном конце приложена сосредоточенная сила F (рис. 9.28, а).

Изгибающий момент в произвольном сечении, расположенном на расстоянии z от свободного конца балки:

M(z) = –Fz.

.

Рис. 9.28. Схема балки равного сопротивления изгибу по длине

В заделке M_max = –Fl, при ширине сечения в заделке b и высоте h,

.

Рассмотрим частный случай, когда ширина сечения b = const, а высота сечения h = h(z). В этом случае

,

тогда

,

откуда

Из полученного выражения можно сделать вывод, что высота сечения балки равного сопротивления изгибу с постоянной шириной сечения меняется по закону параболы (рис. 9.28, б). Таким образом, определив высоту h в опасном сечении, можно определить и высоту h(z) в любом сечении балки.

Так как площадь параболы составляет 2/3 от площади описанного прямоугольника длиной l и высотой h, то объем балки равного сопротивления изгибу будет составлять 2/3 от объема балки с постоянным сечением bh. Таким образом, экономия материала составит 33 %.

Рассмотрим другое решение этой задачи, когда высота сечения h = const, а ширина сечения b = b(z). В этом случае имеем:

,

откуда

.

Следовательно, в этом случае ширина балки изменяется по линейному закону. Получить форму такой балки не представляет больших затруднений (рис. 9.28, в).

Экономия материала при применении такой балки в сравнении с призматической балкой, имеющей сечение bh, достигает 50 %. Ширина концевого сечения балки определяется из условия прочности по касательным напряжениям:

,

откуда

.

Определим наибольший прогиб этой балки. Момент инерции произвольного сечения относительно оси z (рис. 9.28, г) определяется по формуле

,

где J – момент инерции сечения в заделке.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки примет вид

.

Последовательно интегрируя данное уравнение, получим:

;

Постоянные интегрирования находим из начальных условий:

при z = l ;

при z = l y(z) = 0.

Из первого уравнения из начальных условий