С помощью интеграла Мора

Возьмем такую же вторую балку (рис. 9.25, б) и в искомой точке С приложим единичную силу . Сообщим дополнительно этой балке такие же прогибы, какие имеет первая балка, изгибаемая распределенной нагрузкой q. Потенциальная энергия U, накопленная вследствие деформации второй балки, будет равна работе единичной силы на перемещении y_c:

U = 1 ∙ y_c.

Дополнительную потенциальную энергию второй балки можно определить другим способом. Если вырезать из балки бесконечно малый элемент длиной dz, то его потенциальная энергия определяется по формуле

,

где – момент от единичной нагрузки в сечении С;

dφ – угол поворота концевых сечений элемента балки длиной dz, который определяется по формуле

,

где ρ – радиус нейтрального слоя.

С учетом выражения , определим dφ:

, далее .

Потенциальная энергия всей балки, нагруженной единичной силой, определится по формуле

.

Сравним выражения для определения потенциальной энергии, найденной двумя способами, получим:

.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение, то

– интеграл Мора,

где y_c – прогиб балки в рассматриваемом сечении;

ЕJ_x – жесткость балки при изгибе;

– изгибающий момент в рассматриваемом сечении от действия

единичной силы;

М_х – изгибающий момент в рассматриваемом сечении от действия

на балку внешних нагрузок;

z – координата сечения балки.

Для определения угла поворота в рассматриваемом сечении прикладываем единичный момент = 1.

Способ Верещагина.

Помимо непосредственного вычисления интеграла Мора для определения перемещений при изгибе можно пользоваться графоаналитическим методом перемножения эпюр по правилу Верещагина.

Для вывода формулы, предложенной Верещагиным, возьмем участок балки длиной l₁–l₂. Построим грузовую эпюру M от заданной внешней нагрузки. Часть грузовой эпюры на длине балки l₁–l₂ показана на рис. 9.26, а.

В сечении С, где необходимо определить прогиб балки, прикладываем единичную силу и строим от нее единичную эпюру изгибающих моментов . Часть этой эпюры на той же длине балки приведена на рис. 9.26, б.

Рис. 9.26. Схема участка балки

для определения перемещений

способом Верещагина

В общем случае грузовая эпюра определяется уравнением М = f(x), а эпюра от единичной нагрузки – уравнением прямой линии = аz + b. Подставим эти значения в интеграл Мора, получим:

где А – площадь грузовой эпюры на участке балки длиной dz.

Так как b + αz_ц.т = γ_ц.т, то окончательно получим:

,

где у_ц.т – ордината единичной эпюры моментов под центром тяжес-

ти грузовой эпюры М_х.

Для нескольких грузовых участков балки формула перемещений имеет вид:

.

Для определения перемещений при помощи правила Верещагина необходимо:

1) построить эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки.

В том сечении, где необходимо определить прогиб, приложить единичную силу (для нахождения угла поворота в сечении приложить единичный момент);

2) построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы (от единичного момента);

3) вычислить площадь эпюры А на каждом участке балки.

Умножить каждую площадь грузовой эпюры на соответствующую ординату единичной эпюры, находящуюся под центром тяжести грузовой эпюры.

Полученные результаты сложить.

При этом необходимо учитывать следующее: перемножение эпюр с одинаковыми знаками дает знак «плюс», с разными знаками – «минус».

Положительные перемещения у_с и θ_с всегда направлены в сторону действия соответствующей им единичной силы или единичного момента.

Для упрощения процесса расчета деформаций балки целесообразно воспользоваться готовой таблицей, где приведены формулы, по которым можно найти произведение Ау_ц.т в зависимости от вида эпюр М_х и (табл. 9.1).

Т а б л и ц а 9.1. Значения Ау_ц.т, используемые при применении правила